电动力学 - 郭芳侠 - 电磁波的辐射(1)(3)

E??????A ?t?1?Z(2) ?tc?t=??(???Z)?=?(??Z)?由?算符运算公式

1?z ④ 22c?t??(??f)??(??f)??2f

可将④化简为

E???(??Z)??2Z?1?z c2?t2再利用③式可得到

E???(??Z)?c2?0P

因此，有

E???(??Z)?c2?0P

1???Z 2c?t30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和 磁偶极辐射都不会发生．

证明: 将这两个粒子看作一个系统，运用质心坐标系，则系统的总动量为零，找出两个粒子的速度、位矢关系，根据电偶极矩、磁偶极矩的定义，只要证明，便不会产生偶极辐射．

B?设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为x1'、x2'，速度v1、v2分别为，质量为

m1、m2，电荷量为q1、q2，质心系中系统总动量为零，即

m1v1?m2v2?0 ①

由于m1=m2，且相向而行，则有

v1+v2=0 ②

x1'=x2'

系统的电偶极矩

P?q1x1'?q2x2'?q(x1'?x2')?0 P?0

所以不会产生电偶极矩辐射． 系统的磁偶极矩

1m??x'?Jdv

211 =x1'?q1v1?x2'?q2v2

22由于 x1'//v1，x2'//v2 m?0，m?0 因此不会产生磁偶极矩辐射．

31.证明荷质比相同的不同带电粒子 构成的体系不会产生偶极辐射.

证明：设带电粒子体系有N个粒子，第i个粒子的质量为mi，电荷电量为ei，总质量为M，体系电偶极矩：

eP??eixi??imii?1在vN?mx? （1）

iii?1Nc的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心矢径为R，

R??mx??mx?iiiii?1NNN?i?1?mi?1M

i即 ?mix??MR （2）

i?1N将（2）代入（1）中，得

P?eiMR mieiMR miP?由于系统不受外力，则质心加速度R?0，所以P?0，没有电偶极辐射。

体系磁偶极矩

11N1eim??x??Jdv???eixi??vi?2v2i?12mi?xi??mivi?i?1N1eiL 2mi其中L是体系的角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此

m?1eiL?0 2mi故没有磁偶极辐射。

32.设有一球对称的电荷分布，以频率?沿径向作简谐振动，求辐射场， 并对结果给以物理解释．

解: 题设中并未说明体系的线度l是否满足l?，因此不能看作偶极辐射，故以推断迟势公式求出矢势A，再讨论B和E．取电荷的对称中心为原点，场点位矢A的方向为轴，如图5.1

由于电荷分布是球对称，且沿径向做简谐运动，因此电流

J(x',t)?J(r')e?i?teR

场点P处的矢势

rJ(x',t?)dv'?c A(x,t)?0?4?r?0J(r')ec'?i?t????????????edv'e ① R?4?r对于辐射区，r?，故①式分母中的r?R

②

②式中指数部分r能否用R代替，显然取决于r'与?的比较，此处不能忽略，

ec'?e?e?ii??i2??'i2?(R?r'cos?')考虑电流分布的对称性，A只有x方向的分量．将近似条件代入①式，得

?0eikRikr'A(x,t)?J(r')eeRdv'?4?R?0eikRxikr'cos?'????????????J(r')cos?'edv' 2?4?R??0eikRxr0ikr'cos?'2????????????J(r')cos?'e?2?r'sin?'d?'dr'2?0?04?R?0eikR?bx ③

4?R2③式中b??J(r')?cos?'eikr'cos?'?2?r'2sin?'d?'dr'是一与x无关的常数．

00r0?因而辐射场

B???A?ikn?A?ikx?A?0 RE?ic2???B?0

易犯错误 （1）把此体系的辐射当偶极辐射处理，实际上题设并未告知l?这一条件，故应按一般情况讨论；（2）由电流的球对称性错误地得出A(x,t)?0，

rJ(x',t?)?cdv'?0，因为每个由电流球对称，只能得到?Jdv'?0，而A?0?r'4?rr电流元Jdv'到P点的距离r，t?，都不同．

c引申拓展 对于辐射问题，首先看清题目是否给出或隐含了偶极辐射的条件l?，若以给出才能当作偶极辐射处理，通过计算偶极矩来求B和E．否则按

辐射问题的一般方法先求矢势A，再计算B和E．

33.一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为Q．设此飞轮以恒定角速度?旋转，求辐射场．

解:题中并未已知飞轮的几何线度L与?的关系，故也不能看作偶极辐射，应作一般讨论，由于电荷匀速转动，因此等效为一稳恒电流． 由于飞轮以恒定角速度?转动，形成的电流

Q?I??v?

2?式中?为电荷线密度与时间t无关，形成的电流也是稳恒的．稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场，而不会发生辐射，故辐射场E?0，B?0． 34.利用电荷守恒定律，验证A和?的推迟势满足洛伦兹条件．

证明: 本题是一个验证性问题，只需将A、?的推迟势代入洛伦兹条件

??A(x,t)?1??(x,t)?0，等式两边相等即可．由于必须利用电荷守恒定律，则2?tc只需证出上式的右边含有(?'?J)t'?c???就行了．已知A和?的推迟势为 ?t'J(x',t')?V?x?x'?dV'

A(x,t)??04?1?(x,t)?4??0??(x',t')?x?x'?VdV'

其中x是场点的位矢，x'是源点的位矢，t'与t之间的关系为

t'?t??x?x'? ① c???故 ?t?t'因为在空间的一个固定点，有

??(x,t)1?1???(x',t')dV' ②

?t4??0V?x?x'??t'??A(x,t)??04?V????J(x',t')????x?x'???dV' ???04??VJ(?1x?x'?)dV'???0?4??1V?x?x'???JdV'? 当算符?作用于?x?x'?的n次幂时，可写成

??x?x'??n???'?x?x'??n 其中?'只作用于x'，因为J(x',t')中的变量t'?t??x?x'?c，其中含有x，故??J??J?t'?(?t')??1?Jc?t'?(??x?x'??) ?1?Jc?t'?(?'?x?x'??) 另一方面，有

?'?J?(?'?J)1?Jt'?c?c?t?(?'?x?x'??) 式中(?'?J)t'?c表示t'为常数时J的散度．

对比以上两式，得

?'?J?(?'?J)t'?c???'?J

将此式代入③式，并利用r??x?x'??表示电荷到场点得距离．

??A(x,t)??0?VJ??1?04?rdV'??4??1Vr??(?'?J)t'?c??'?J?? dV' ??014????01?01VJ??rdV'?4??vr?'JdV'?4??vr(?'?J)t'?cdV

③

④

⑤ ⑥ ⑦