电动力学 - 郭芳侠 - 电磁波的辐射(1)(2)

?2A?2?2 ??A???2?0,?????2?0 ⑥

?t?t2对单色波

A(x,t)?A(x)e?i?t,?(x,t)??(x)e?i?t ⑦

代入⑤式中,得

???i??A ⑧

???于是

E?1????(??A)??A????????B???A ⑨ ?t可见在线性均匀非导电介质中，当??0，J?0时，E、B完全由矢势A决定．

（2）若取??0，由⑤⑥两式变为

??2A??A???2?0??t? ⑩

???A?0?2上式便是此时A满足得方程．

27. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(??)表示，其中??t?z/c，A垂直于z轴方向．

解题思路 由于E?????A,B???A，再考虑沿z方向传播的电磁波矢?t势A解析表达式，找出于?与A的关系便可证明．

证明: 利用上题中得到的自由空间矢势的方程

1?2A?A?22?0 ①

c?t2解得平面波解为

A?A0ei(k?x??t) ②

由于平面波沿z轴方向传播，故K?kez，则②式可写为 A?A0ei(kz??t)?A0e根据洛伦兹规范

c??i(t?)z?A0e??iT?A(?,?)

??A?1???0 c2?t得

???c2???A??ic2?K?A

由已知条件A?Aez，故??0 因此 E???A?i?A(?,?),B???A(?,?) ?t易犯错误 不能抓住平面电磁波的特点，未应用沿轴传播这一特定条件． 引申拓展 求解此类题目时，将E、B用A、?表示出来，再已知条件下分析解析式A、?及其之间的关系即可． 28.设真空中矢势A(x,t)可用复数傅里叶展开为

*(t)eik?x]， A(x,t)=?[ak(t)eik?x?akk*其中ak是ak的复共轭．

d2ak(t)?k2c2ak(t)?0． (1)证明ak满足谐振子方程2dt*(3)把E和B用ak和ak表示出来．

证明: 已知矢势A(x,t)的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加，因此矢势A(x,t)满足齐次达朗贝尔方程，将A(x,t)的展开式代入达朗贝尔方程，用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论．

（1）由A(x,t)为真空中矢势可知

??0，J?0

若采用洛伦兹规范，则A(x,t)满足达朗贝尔方程，即

1?2A?A?22?0

c?t2将A(x,t)的复数傅里叶展开式代入上式，有

**1?2????ik?x?ik?x??ik?x?ik?x?????ak(t)e?ak(t)e?a(t)e?a(t)ekk????0 22??????k?c?t?k?2即

?k???k2ak(t)eik?x?kak(t)e2*?ik?x??1?c2?d2d2*ik?x?ik?x?a(t)e?a(t)ekk??2??0 2dtk?dt?要使上式恒成立，应有

1d2ik?x?kak(t)e?a(t)e?0k2cdt 2**1d?k2ak(t)e?ik?x?a(t)e?ik?x?0k2cdt2ik?x整理以上两式，有

d2ik?x22a(t)e?ckak(t)?0k2dt 2**dik?x22a(t)e?cka(t)?0kkdt2故结论得证．

（2）若取??A?0，??0

??*(t)eik?x]??0 ??A(x,t)=????[ak(t)eik?x?ak?k?即

?k?ak(t)eik?x?k?ak*(t)e?ik?x??0 ???k为使上式恒成立，则有

k?ak(t)?0 k?ak(t)?0（3）由（2）有：k?A?0，且??0

*B???A?ik?A??*?????ik???[ak(t)eik?x?ak(t)eik?x]?

?k?*??????[ik?ak(t)eik?x?ik?ak(t)eik?x]k?A?t?dak(t)ik?xdak*(t)?ik?x????????e?e? 22dtdtk????*??????ick?ak(t)eik?x?ak(t)e?ik?x???kE??29.设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势．

(1)引入一矢量函数Z(x,t)(赫兹矢量),若令?＝-??Z，证明A＝

?Z2??c?0P，写出 2?t1?Z． c2?t (2)若令?????P证明Z满足方程 ?2Z?在真空中的推迟解．

(3)证明E和B可通过Z用下列公式表出， E???(??Z)?c2?0P， B?1???Z． c2?t证明: 由题意可知：A和?满足洛伦兹规范，且?＝??Z，只需将A、?代入其规范，化简后便可得出A＝

1?Z，当?????P时，将A、?、?代入它们c2?t?A，?t满足的基本方程便可求证．综合（1）和（2），通过B???A、E?????便可得出E和B的表达形式．

（1）矢势A、标势?满足洛伦兹规范

??A?1???0 ① c2?t将?????Z(x,t)代入①式，得

??(A?1?Z)?0 2c?t可见A与

1?Z最多相差一个无散场D0，可令D0?0，有 2c?tA?1?Z ② c2?t结论得证．

（2）由A、?满足得方程可知

?2??????A?? ?t?0若?????P，结合①、②两式可得到

?2(???z)???1??t??c2?t(??Z)??1????(??P)0化简，得

?(??2?Z)?1?Z??Pc2?t2?? 0由c?1?，有

0?0?(??2?Z?1?Z2c2?t2)?c?0??P 即

??Z?1?Zc2?t2??c2?0P??P? 0次方程于达朗贝尔方程形式完全相同，故推迟解

P(rZ(x,t)?1x',t?c)4??dv' 0?r（3）将?????Z，A?1?Zc2?t分别代入 B???A，E??????A?t 可得到

B???A =??1?Zc2?t =

1?c2?t??Z ③