湖北省黄冈市2016届高三数学4月适应性考试试题 文（含解析）(3)

则有

2k2x1?x2?1?k2，

k2?4， ...............8分 x1x2?21?kkAM?kANy1y2k(x1?1)k(x2?1)k2[x1x2?(x1?x2)?1]????? x1?2x2?2x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?4

k2?42k2k(??1)22k2(k2?4?2k2?1?k2)?3k211?k1?k?2????； ...............10分 k?42k2k2?4?4k2?4?4k29k23?2??41?k21?k22 ②当直线MN斜率不存在时，直线MN的方程为x?1，

代入圆的方程可得：M(1,3)，N(1,?3)，kAM?kAN? 综

合

①

②

可

得

：

kA?Mk3?0?3?01???；....11分

1?(?2)1?(?2)3为定值，此定值为

1?． ...............12分 321．解析：（Ⅰ）当m?1，a?2时，f(x)?e2x?lnx?1， 所以f?(x)?2e2x?分

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e2?1)?(2e2?1)(x?1)，

即

1．所以f(1)?e2?1，f?(1)?2e2?1， ...............2xy?(2e2?1)x?e2． ...............4分

≥ex?lnx?1． （Ⅱ）证法一：当a?1，m≥1时，f(x)?mex?lnx?1 要证明f(x)?1，只需证明ex?lnx?2?0 以下给出三种思路证明ex?lnx?2?0.

1 思路1：设g(x)?ex?lnx?2，则g?(x)?ex?．

x 设h(x)?ex?11，则h?(x)?ex?2?0， xx1 所以函数h(x)?g?(x)?ex?在上单调递增． （0，+?）x - 11 -

?1? 因为g????e2?2?0，g?(1)?e?1?0，

?2?1?1?1 所以函数g?(x)?ex?在上有唯一零点x0，且x0??,1? （0，+?）x?2? 因为g?(x0)?0，所以ex0?1，即lnx0??x0 x0 当x??0,x0?时，g?(x)?0；当x??x0,???时，g?(x)?0． 所以当x?x0时，g(x)取得最小值g?x0?． 故g(x)?g?x0?=ex0?lnx0?2? 综

上

可

1?x0?2?0． x0知，当m≥1时，

f?x??1． ...............12分

思路2：先证明ex≥x?1?x?R?．设h?x??ex?x?1，则h??x??ex?1． 因为当x?0时，h?(x)?0，当x?0时，h?(x)?0，

所以当x?0时，函数h?x?单调递减，当x?0时，函数h?x?单调递增． 所以h?x??h?0??0．

所以ex?x?1（当且仅当x?0时取等号）． 所以要证明ex?lnx?2?0，

只需证明?x?1??lnx?2?0，即证明x?lnx?1≥0． 下面证明x?lnx?1≥0． 设p(x)?x?lnx?1，则p?(x)?1?1x?1． ?xx 当0?x?1时，p?(x)?0，当x?1时，p?(x)?0，

所以当0?x?1时，函数p(x)单调递减，当x?1时，函数p(x)单调递增． 所以p(x)≥p(1)?0．

所以x?lnx?1≥0（当且仅当x?1时取等号）． 由于取等号的条件不同，所以ex?lnx?2?0． 综上可知，当m≥1时，f(x)?1． 思路3：先证明ex?lnx?2．

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因为曲线y?ex与曲线y?lnx的图像关于直线y?x对称，

设直线x?t?t?0?与曲线y?ex，y?lnx分别交于点A，B，点 A，B到直线y?x的距离分别为d1，d2，

则AB?2?d1?d2?． 其中d1?et?t2，d2?t?lnt2?t?0?．

①设h(t)?et?t?t?0?，则h??t??et?1． 因为t?0，所以h?(t)?et?1?0．

所以h(t)在?0,???上单调递增，则h(t)?h(0)?1． 所以d1?et?t2?2． 21t?1 ②设g(t)?t?lnt?t?0?，则g?(t)?1??．

tt 因为当0?t?1时，g?(t)?0；当t?1时，g?(t)?0，

所以当0?t?1时，g(t)?t?lnt单调递减；当t?1时，g(t)?t?lnt单调递增． 所以g(t)≥g(1)?1．所以d2? 所以AB?2(d1?d2)?2(t?lnt2≥2． 222?)?2． 22 综上可知，当m≥1时，f(x)?1．

22．解析：（Ⅰ）连接OD，可得?ODA??OAD??DAC， ∴

..............3分

又AE?DE，∴OD?DE，又OD为半径，∴DE是圆O的切线；..............5

分

（Ⅱ）过D作AB?DH于点H，连接BC，则有?HOD??CAB， cos?HOD?OHAC2...............7分 ?cos?CAB??ODAB5 OD//AE

设OD?5x，则A?1B?0x，O∴HxAH?7x

...............8分

- 13 -

由?AED??AHD可得AE?AH?7x，又由?AEF~?DOF， 可A?D?得

7F．...............10分 5 F???0,2??，23．解析：（Ⅰ）由??2sin?，可得?2?2?sin?， ...............1

分 所

以

2曲线C的普通方程为

x2?y2?2y?0（或

， ...............3分 x2??y?1??1）

??x?3t?3,因为直线l的参数方程为?（t为参数，t?R），

??y??3t?2消

去

t得直线l的普通方程为

3x?y?5?0； ...............5分

（Ⅱ）因为曲线Cx2?(y?1)2?1是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆， 因

为

点

D在曲线C上，所以可设点

D?cos?,1?sin??????0,2???， ...............7分

所

以

点

D到直线l的距离为

d?3cos??sin??42因

为

????2?sin????， ...............8分

3?????0??,2，所以当

???6时，

dm?1i，

...............9分

此

时

D点的坐标为

?33???2,2??． ...............10分 ??24．解析：（Ⅰ）因为f(x)?f(x?5)?x?3-x?2≤(x?3)?(x?2)?5， 当且仅当x≤?2时等号成立，

所以m?1≤5，解得?4≤m≤6； ...............5分

f?ab?（Ⅱ）证明：要证

|ab?3|b?b??f??，即证??3， |a|a??|a|a - 14 -

只需证|ab?3|?|b?3a|， 即证(ab?3)2?(b?3a)2，

又(ab?3)2?(b?3a)2?a2b2?9a2?b2?9?(a2?1)(b2?9)，|a|?1, |b|?3， 所以(a2?1)(b2?9)?0， 所以(ab?3)2?(b?3a)2，

故

立． ...............10

原

不

等

分 式

成

- 15 -