通信原理教程第二版答案及重点复习题(3)

《通信原理》习题第一章

稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：

Rx(?)、

Ry(?)。

因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]

RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)

习题2.21若随机过程

Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关

?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼

此统计独立。

（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度

解：

（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；

E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形；

PZ(w)及功率S 。

RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00

?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)

只与

t2?t1??有关：

令

t2?t1??

?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02 1?cos(w0?)2

E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}

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《通信原理》习题第一章

1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关，证毕。 （2）波形略；

?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???

PZ(w)?RZ(?)

而

RZ(?)的波形为

可以对

Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出

Rm(?)的付氏变换。

Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22

w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422

功率S：

S?RZ(0)?1/2

习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数

解：

因为

exp(?a?)?2aw2?a2

Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2，a为常数： 求n和S；

aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?22w?a2 所以

S?R(0)?

a2

习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数

R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度

P?(w) 。

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《通信原理》习题第一章

wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题

因为

?T(t)??n????(t?2n)? 所以

?(t)?R(?)*?T(t)

据付氏变换的性质可得

?P?(w)?PR(w)F?(w)?而

?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故

习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为

wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角

、带宽为B的理想带通滤波器上，如图

（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）

Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2

?因为w0又

G2w0(w)?Sa(w0?),故

G2B?(w)?BSa(B??)

H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]

?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)

12?1由 付氏变换的性质 可得

f1(t)f?)2(tF(w)*2F(w)

n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?

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《通信原理》习题第一章

（2）

E[?o(t)]?0；

R(0)?E[?02(t)]?Bn0；

R(?)?E2[?o(t)]?0

所以

?2?R(0)?R(?)?Bn0

又因为输出噪声分布为高斯分布

可得输出噪声分布函数为

1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00

n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。

解：

11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC

的白噪声

(1)

PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2

(2) 因为

exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2

所以

?n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC

n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为

（2） 求输出噪声的方差。

RR?jwL

2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，

（1） 求输出噪声的自相关函数；

解：

H(w)?

R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)

(2)

E[n0(t)]?0；

n0R4L

Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔

，脉冲

Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无

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《通信原理》习题第一章

关，且过程具有宽平稳性，试证：

??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]（1） 自相关函数（2） 功率谱密度

解： （1）

。

R?(?)?E[?(t)?(t??)]

R?(?)①当②当

??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故

=0

2Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在

内，该波形取-1

1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。

（A） 波形取-1-1、11 时，

1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，

（B） 波形取-1 1、1 -1 时，

1T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(b?)Tb4TTb b在图示的一个间隔内，

?11Tb???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(?)?1???Tb44TTbTb b当时，

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