数学竞赛中的数论问题题型全(8)

例1．求不定方程

解：先求

的整数解。

的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：

，

，

将上述过程回填，得：

由此可知，是方程的一组特解，于是，是方

程的一组特解，因此原方程的一 切整数解为：

例2．求不定方程

的所有正整数解。

。

解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：

因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两边，得

，令

经观察得

为整数，由此得。

，所

是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：

以原方程的一切整数解为：

例3．求不定方程

。

的正整数解。

的取值范围，因为

的最小值为1，所以

解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数

。当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且

故方程组有5组正整数解，分别为，，，，；

当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别为：，，

；当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别为：，

；

36

当时，原方程变形为，即

8 4 1

10 1 1

，故方程只有一组正整数解，为2 9 2

4 6 2

6 3 2

2 5 3

4 2 3

2 1 4

。

故原方程有11组正整数解（如下表）：

2 4 6

13 10 7

1 1 1

例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？ 解：设显然但当

时，为圆

上任一整点，则其方程为：

为方程的4组解。

（因为199是质数），此时，。因为

这与199为

，可设型的质数矛盾！ 。

是一组勾股数，故199可表示为

，

；

两个正整数的平方和，即

则

因而圆O上只有四个整点于是

。

例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。

证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为

，

则是平方数，则必有

是偶数）

。因为，故存在整数。

中一奇一偶，，使

得（不妨设

由于即因为

是奇数，易知

是完全平方数，而知

，所以，于是

得

与

即

两两互素，故它们是平方数，

，另一个是

，而

；

中有一个是

另一方面，

所以，以

为边的三角形都是直角三角形，其面积等于是平方数，

37

但是

，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛盾！

38

39

例3．设k证明：n?1是一个奇数，证明L对于任意正整数n，数1k?2k???nk不能被n?2整除。

?1时，结论显然成立。设n?2，记所说的和为A，则：

2A?2?(2k?nk)?(3k?(n?1)k)???(nk?2k)。

由k是正奇数，从而结于每一个i?2，数ik?(n?2?i)k被i?(n?2?i)?n?2整除，故2A被n?2除得余数为2，从而

。 2）

A不可能被n?2整除（注意n?2?例4．设m,n是正整数，m?mn（2?1）（2?1）。 2，证明：

证明：首先，当n?m时，易知结论成立。事实上，m出来（注意m?最后，n。 2）

?n时，结论平凡；当n?m时，结果可由2n?1?2m?1?1?2m?1推

?m的情形可化为上述特殊情形：由带余除法n?mp?r,0?r?m而q?0，由于2n?1?(2mq?1)2r?2r?1，从

n而由若n是正整数，则x?yn?(x?y)(xn?1?xn?2y???xyn?2?yn?1)知(2m?1)|(2mq?1)；而0?r?m，故由上面证明了的结论知

mn(2m?1) (2r?1)（注意r?0时结论平凡），从而当n?m时，也有（2?1）（2?1）。这就证明了本题的结论。

例5．设正整数a,b,c,d满足ab?cd，证明：a?b?c?d不是质（素）数。 证法一：由ab?cd，可设约分数

admama??其中(m,n)?1。由?意味着有理数cbncnc的分子、分母约去了某个正整数u后得既

mn，因此，a?mu,c?nu ①

同理，存在正整数v使得b?nv,d?mv

②

因此，a?b?c?d＝(m?n)(u?v)是两个大于1的整数之积，从而不是素数。

注：若正整数a,b,c,d适合ab?cd，则a,b,c,d可分解为①及②的形式，这一结果在某些问题的解决中很有作用。 证法二：由ab?cd，得b?cda，因此a?b?c?d?a?cd(a?c)(a?d)，因为a?b?c?d是整数，故?c?d?aa(a?c)(a?d)也是整数。

a若它是一个素数，设为可见

p，则由(a?c)(a?d)?ap

③

p整除(a?c)(a?d)，从而素数p整除a?c或a?d。不妨设p｜a?c，则a?c?p，结合③推出a?d?a，而

。 ?1）

这是不可能的（因为d例6．求出有序整数对（

m,n）的个数，其中

1?m?99，1?n?99，(m?n)2?3m?n是完全平方数。

（1999年美国数学邀请赛试题） 解：由于1?m?99，1?n?99可得：

(m?n)2?3m?n＜(m?n)2?4(m?n)?4?(m?n?2)2。

又(m?n)

2?(m?n)2?3m?n，于是(m?n)2?(m?n)2?3m?n?(m?n?2)2

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