数学竞赛中的数论问题题型全(2)

可见，k为偶数，设k?2m，有n?4m，得证4|n．

例6 在数轴上给定两点1和2，在区间(1,2)内任取n个点，在此n?2个点中，每相邻两点连一线段，可得n?1条互不重叠的线段，证明在此n?1条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．

证明 将n?2个点按从小到大的顺序记为A1,A2,…,An?2，并在每一点赋予数值ai，使

a? 1, 当Ai为有理数点时，i??与此同时，每条线段A??1,　当AiAi?1也可数字化为aiai?1（乘法） i为无理数点时.a??1,　当Ai,Ai?1一为有理数点，另一为无理数时，iai?1?? ? 1,　 当Ai,Ai?1同为有理数点或无理数点时,记aa)?(?1)k(?1)n?k?1i?1??1的线段有k条，一方面(a1a2)(a2a3)(a3a4)…(an?1an?2?(?1)ki 另一方面 (aa21a2)(2a3)(a3a4)…(an?1an?2) ?a1(a2a3…an?1)an?2?a1an?2??1，

得??1?k??1，故k为奇数．评析 用了数字化、奇偶分析的技巧． 二、约数与倍数

最大公约数与最小公倍数的求法． （1） 短除法．（2）分解质因数法．设

a?p?121p?2p?kk,?i?0,i?1,2,,k，b?p?11p?22p?kk,?i?0,i?1,2,,k．

记 ????，则 ?a,b??p??i?mini,?i?,?i?max??i,?i11p22p???kk，?a,b??p?11p22pkk．（3）辗转相除法 ?a,b???b,r???r1,r2????rn?1,rn???rn,0??rn．

例7 （1）求?8381,1015?，?8381,1015?； （2）?144,180,108?，?144,180,108?．

解（1）方法1 分解质因数法．由

8381?172?29,1015?5?7?29,得

?8381,1015??29，?8381,1015??5?7?172?29?293335． 方法2 辗转相除法．

或 ?8381,1015???261,1015???261,232???29,232???29,0??29．

?8381,1015??8381?1015?8381,1015??8381?101529?8381?35?293335．

（2）方法1 短除法．由

2144 180 108272 90 54得

336 30 27312 10 9?144,180,108??22?32?36，

4 5 3

6

?144,180,108??24?33?5?2160．

方法2 分解质因数法．由

144?24?32, 180?2?3?5,，

22108?22?33,得 ?144,180,108??22?32?36，?144,180,108??24?33?5?2160．

例8 正整数n分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n的最小值为 ． 解 依题意，对最小的n，则n?1是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数n?1?2?3?5?7，得n?2519． 例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？ 解 相当于求不定方程15x?27y?6的整数解．由?15,27??3知，存在整数u,v，使

3215u?27v?3，可得一个解u?2,v??1，从而方程 15?4?27???2??6．

即往小容器里倒2次油，每次倒满之后就向大容器里倒，大容器倒满时，小容器里剩有3升油；再重复一次，可得6升．

例10 对每一个n?2，求证存在n个互不相同的正整数a1,a2,,an，使ai?ajai?aj，对任意的

i,j??1,2,,n?,i?j成立．

证明 用数学归纳法．当n?2时，取a1?1,a2?2，命题显然成立． 假设n?k时，命题成立，即存在a1,a2, 现取b为a1,a2,,ak，使 ai?ajai?aj，对任意的i,j??1,2,,k?,i?j成立．

,ak及它们每两个数之差的最小公倍数，则k?1个数

b,a1?b,a2?b,??at?b??b?at?b??b,?,ak?b满足 ?

a?b???aj?b??ai?b???aj?b?,???i 即命题对n?k?1时成立．由数学归纳法知命题对n?2成立．

例11 ?1959,IMO1?1?证明对任意正整数n，分数证明1 （反证法）假若

21n?4不可约．

14n?321n?4可约，则存在

14n?3d?1， ①

使 ?21n?4,14n?3??d，

?21n?4?dp, ②从而存在p,q,?p,q??1，使?

14n?3?dq, ③?消去n，?3??3??2??2，得 1?d?3q?2p?， ④

7

的 d?1． ⑤

由（1）、（5）矛盾，得d?1． 解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法．

（2）式④是实质性的进展，表明 1?3?14n?3??2?21n?4?，

可见 ?21n?4,14n?3??1．由此获得2个解法． 证明2 设?21n?4,14n?3??d．存在p,q,?p,q??1，使

?21n?4?dp, ① ?14n?3?dq, ②?消去n，②×3-①×2，得

1?d?3q?2p? ③ 得 d?1．

证明3 由1?3?14n?3??2?21n?4? 得 ?21n?4,14n?3??1．

证明4 ?21n?4,14n?3? ??7n?1,14n?3? ④

??7n?1,1? ⑤ ?1． 解题分析：第④ 相当于 ①-②；第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的．

例12 不存在这样的多项式 f?n??amn?am?1nmm?1??a1n?a0，

使得对任意的正整数n，f?n?都是素数．

证明 假设存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数，则取正整数n?b，有素数p使 f?b??amb?am?1bmm?1??a1b?a0?p，

mm?1进而对任意的整数k,有 f?b?kp??am?b?kp??am?1?b?kp???a1?b?kp??a0

??ambm?am?1bm?1??a1b?a0??Mp（二项式定理展开）?P?1?M?，其中M为整数，这表明

f?b?kp?为合数．这一矛盾说明，不存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数．

三、平方数

若a是整数，则a就叫做a的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质

（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．

（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，

8

296，09，29，49，69，89．

（3）?2n??0?mod4?,?2n?1??1?mod4?．（４）?2n?1??1?mod8?．

（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．

（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足a?b?c的整数?a,b,c?叫做勾股数．勾股数的公式为

222222?a?m2?n2,? ?b?2mn,

?c?m2?n2,?其中m,n为正整数，?m,n??1且m,n一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．

2．平方数的证明方法

（1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设a为平方数，且a?bc，?b,c??1，则b,c均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法

（1）若n?x??n?1?，则x不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．

22（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数n都不是平方数．

n?2?mod3?， n?2或3?mod4?， n?2或3?mod5?， n?2或3或5或6或7?mod8?，n?2或3或7或8?mod10?．

（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如

个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．

例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一 …… 此处隐藏：3308字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……