数学竞赛中的数论问题题型全(5)

(2) 不定方程的解法

不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.

例6 求方程

解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.

2

2

2

的整数解.

在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于13即

(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解

2

解得

2

2

2

例7 已知两个自然数b和c及素数a满足方程a+b=c.证明:这时有a＜b及b+1=c. 证明（因式分解法）∵a+b=c，∴a=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a.

2

2

2

2

2

于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b，即

2

＜.而a≥3,∴≤1，∴＜1.∴a＜b.

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例9满足联立方程

的正整数（a，b，c）的组数是（ ）.

解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.

∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1) 例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.

解 由(y-2)x=2y-7,得

分离整数部分得

由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1. ∴方程整数解为

例11 求方程x+y=x-xy+y的整数解.

解（不等式法）方程有整数解 必须△=（y+1）-4（y-y）≥0，解得

2

2

2

2

≤y≤.

满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.

当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.

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所以方程有整数解

最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.

例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.

解将原方程变形得

由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以， 12-x=1，x=11，这时y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 （x，y）=（11，132）.

例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及数是（ ）.

（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7 解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由

的不同的整数对（x，y）的个

得

6

2

当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=2·31，故当且仅当x具有31t形式时，1984x是完全平方数.

∵x＜1984，∵1≤t≤7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≤x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.

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解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t形式，y必须具有31k形式，并且

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t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3. (1)方程x-y=105的正整数解有( ).

（A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组

(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）. （A） 3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 2．填空题

（1）的个位数分别为_________及_________.

2

2

(2)满足不等式10≤A≤10的整数A的个数是x×10+1，则x的值________.

3

454

(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________. (4) 求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________. 3.求三个正整数x、y、z满足

2

2

.

4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？

5．求的整数解.

6．求证可被37整除.

7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件

的整数x，y的所有可能的值.

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8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)

如果p、q、 练习二十

、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.

1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.

(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.

2

2

3.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故y≤6.又有,

故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整数.

4.可仿例2解.5.先求出方数,…,解得

,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平

6.8888≡8(mod37),∴8888

7777≡7(mod37),7777

3333

2222

≡8(mod37).

3333

2

≡7(mod37),8888

2

2

32222

+7777≡(8+7)(mod37),而8+7=407,37|407,∴37|N.

2323

7.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4). 8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是

l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

9.易知p≠q,不妨设p＞q.令p、q之值.

=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得

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