高考数学常用公式及常用结论 精编版绝对有效(5)

无忧解题网 (www.51jt.net) 打造一流解题平台,铸就辉煌成功之路 ?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ;

|?1??2|???180??(?1??2)(当且仅当??90?时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 135.点Q到直线l距离

????????????222 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

????122h?(|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

|a|????b=PQ).

136.异面直线间的距离

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为d?|n|???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|l1,l2间的距离).

137.点B到平面?的距离

138.异面直线上两点距离公式

d?h2?m2?n2?2mncos?. ????????222'd?h?m?n?2mncosEA,AF. d?h2?m2?n2?2mncos?（??E?AA'?F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两

'点E、F，AE?m,AF?n,EF?d). 139.三个向量和的平方公式

'???2?2?2?2?????? (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分

别为?1、?2、?3,则有

2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

S'S?.

cos? 21 / 29

无忧解题网 (www.51jt.net) 打造一流解题平台,铸就辉煌成功之路 (平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧?c1l. ②V斜棱柱?S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E?'1nF； 21mV. 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?146.球的半径是R，则

4?R3, 32其表面积S?4?R．

其体积V?147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a. 1241V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*

.(n，m∈N，且m?n)．

(n?m)！ 22 / 29

注:规定0!?1.

无忧解题网 (www.51jt.net) 打造一流解题平台,铸就辉煌成功之路 152.排列恒等式

mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;

（2）An?mnn?1n（4）nAn?An?A?1n; mmm?1（5）An. ?1?An?mAn(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*

==(n∈N，m?N，且m?n). m1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质

mn?m(1)Cn=Cn ; mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.

155.组合恒等式

n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;

m（1）Cn?m （4）

?Cr?0rrnrn=2;

nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. 012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm . An?m！?Cn157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

m?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）

mm?11m?1m1m?1?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

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无忧解题网 (www.51jt.net) 打造一流解题平台,铸就辉煌成功之路 km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题

常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一

hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?nnnnn(mn)!. m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则

nmn1n2其分配方法数共有N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不 …… 此处隐藏：3864字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……