1.1库仑定律和电场强度(5)

??kq43?343?ra0

?R

??kqrR3a0

0?a表示E的方向是从q指向O。

练习13．有一个均匀带电球体，球心为O，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，球心为O′，半径为R′（图（a）），OO′距离为a。

（1）求O′处的场强E′；

?（2）求证：空腔内处处场强E相同。

分析：均匀带电球体在球外某点产生的场强等同于电荷集中于球心在该点所产生的场强。均匀带电球体在球内某点产生的场强可如下处理：以原球心为球心，过该点作一球面，球面外电荷对该点产生的场强为零，球面内电荷在该点产生的场强如前所述。

原题中带有空腔的球体可看作半径为R、体密度为?的完整球体与半径为R?、体电荷密度为??的小球体组合。于是均匀带电球体的场强公式便可适用。

解：我们知道了均匀带电球壳外离壳心a处的场强为kQa2（Q为球壳所带电量），壳内

场强均为零。一个半径为R的均匀带电球体可看成是由一层一层的球壳组合而成。因此，均匀带电球体外离球心a处的场强为kQa2（Q为整个球体所带的电量）。

球体内离球心b处的场强可以这样来考虑：半径大于b的球壳对b点的场强都无贡献；半径小于b的球壳的电荷都可以看成集中在球心上，这些球 壳所带的总电量为

bR33Q，所以离球心b处的场强为kQbb233R?kQbR3。

综合以上讨论，均匀带电球体的场强分布如图41-36（b）所示。

（1）本题中的含腔带电球体可以看成由一个完整的大球O1和一个电荷体密度同为?的异种电荷小球O2组合而成。O1球对O?处的场强贡献为

??4E1?k??a，

3O2球对O?处的场强贡献为零，所以O?处的电场强度就是

43k??a，方向沿O球半径向

外。

（2）对球腔中任意一点A来说，O1球的场强贡献为（图41-36（c））

??4E1?k??r，

3O2球的场强贡献为

??4E2??k??b

3

其合场强 E?E1?E2?

?43k??? ???43??k??(r?b)

由此可见，O?球形腔内任一点的场强E都是相同的。

C练习14．如图（a）所示，平行板电容器中充满均匀介质，给电容器充电后介质内场强为E0，设左板带正电荷，右板带负电荷。若在介质中A处挖一球形小空腔，试比较A、B、C三点的场强与原场强E0的大小。

解：由于充满电容器的是均匀电介质，极化电荷只能分布在介质表面上。先看小空腔面上的极化电荷。由分子电偶极子的取向可知电荷分布如图（b）所示。这时极化电荷使得空腔内场强

ABA???????a??b?图41-38

加强，故EA?E0。由于两极板间电势差是一定的。故EB?E0。

由于EB变小了，与B处对应的导体表面的自由电荷面密度减小了。而总的自由电荷是守恒的，所以C处对应导体面上的电荷面密度一定比原来的大了，故EC?E0。

练习15．图（a）所示为一很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放一带电量为?q的点电荷。

1、试求板上感应电荷在导体板内P点产生的电场强度。P点与A点的距离为r。

2、试求感应电荷在导体板外P′点产生的电场强度。P′点与P对导体板右表面是对称的。

3、就本题情形，根据场强分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直。 4、试求导体板上的感应电荷对点电荷-q的作用力。 5、若在切断导体板与地的连接线后，再将+Q电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡（略去边缘效应）。

解：1、对于接地的很大的导体平板来说，导体板上的感

应电荷只分布在靠近点电荷的一面，另一面无感应电荷。导体板内P点的电场强度是由点电荷?q和板上感应电荷共同产生的，达到静电平衡后，其合场强为零。所以，感应电荷在导体板内部P点产生的电场强度与点电荷?q产生的电场强度大小相等，方向相反，即

Eip?kqr2

方向沿AP方向（如图（b）所示）。

2、由于P?点相对于面分布的感应电荷来说，是P点的对称点，因此感应电荷在板外P?点所产生的场强大小应与它们在P点产生的场强大小相等，即

??Eipkqr2，

E?E?Er为点电荷?q到P点的距离。ip的方向如图（b）所示，即ip与ip相对于导体板右表

面应是对称的。

3、考察导体板右表面两侧板靠近表面的两点P1和P1?。如前述分析，在导体板外P1?点，感应电荷产生的场强大小为

kqr1，

2??Eip1方向如图（c）所示。点电荷?q在P1?点产生的场强大小也是

??Eip1kqr1，

2方向如图（c）所示。

?Eip1?Eqp1E?p1从图中可以看出

与的合矢量

，即P1?处场强，与导体表面垂直。

4、重复2的分析可知，感应电荷在?q所在处A点的电场强度的大小为

EiA?kq(2d)2?kq4d2，

方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷?q的电场力为

F??qEiA??kq224d

负号表示力的方向沿d指向导体板。

5、切断接地线后，导体板上感应电荷仍保持原来的分布，导体内各处的场强为零。在此情况下再将?Q电荷加在导体板上，只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零，即可保持静电平衡。大家知道，均匀分布在导体板的两侧表面时，上述条件即可满足。 练习16．有一个带电圆环，AB为它的一条直径。如果要使AB上的场强处处为零，问圆环上的电荷应如何分布？

解：设想一个以AB为直径的均匀带电球面（如图所示），其电荷面密度为?。由于均匀带电球面内部场强处处为零，故直径AB上的场强处处为零。取与AB相垂直的小球带CDEF进行研究。设

?COB??,?EOB?????，则小球带的面积

?S?2?r??rcos??rcos(????)?

1???1?2?4?rsin???????sin????2???2?

?1?2?4?r?sin???????2?

???? ?2?r?sin

小球带上带的电量?Q???S?2?r???sin????

在AB上任取一点P，易知小球带上的电荷在P点所产生的场强跟将小球带上带的电等 量分配集中到C、D两点时，在P点产生的场强相同，此时C、D两点的电量是

Q??12?Q??r222???sin????。如果我们把所有的小球带上带的电都等量分配并集中到