1.1库仑定律和电场强度(2)

?kQr?RE??kQ??r

32r?Rr?R

⑤电偶极子产生的电场

真空中一对相距为l的带等量异号电荷的点电荷系统??q,?q?，且l远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q与两点电荷间距l的乘积定义为电偶极矩。

a.设两电荷连线中垂面上有一点P，该点到两电荷连线的距离为r，则P点的场强如图1-1-5所示，其中

E?E??E??k2qr?l2E?4

E?rlE?2E?cos??2k2qr?l2?22r?l2??ql/2l/2q44

图1-1-5

?k2ql(r?l23?kqlr3

4)2

b.若P?为两电荷延长线上的一点，P?到两电荷连线中点的距离为r，如图1-1-6所示，则

ql???r??2??2E??k,E??kql???r??2??2,

????11?E?E??E??kq??22??l?l????r?????r??22?? ?????2?2q??l?l????k2??1????1???r?2r2r???????

?ql/2?qP?E?E?l/2r图1-1-6

?k

q?ll?1??1???2r?rr?

ET

?k2qlr3

E??TE//c.若T为空间任意一点，它到两电荷连线的中点的距离为r，如图1-1-7所示，则ql?在T点产生的场强分量为

?q?qE??kql?r3?k2qlsin?r3图1-1-7

，

由ql//在T点产生的场强分量为

2ql//r3E//?k?k2qlcos?r3

故

ET?E??E//?k22qlr33cos??1,2

tan??E?E//?sin?2cos??12tan?

例2、如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为

?的正电荷，此外均为真空

（1）试求

x≤d处的场强分布；

（2）若将一质量为m，电量为??的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过多长时间第一次到达x=0处。

解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S，高为2x，左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x，如图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x处的电场强度。

（

1

）

根

据

高

斯

定

律

?d2xPOSEdxE?2S?4?k???S?2x。坐标为x处的场强：

图1-1-8

E?4?k?x（x≤d），x＞0时，场强与x轴同向，x＜0时，场强与x轴反向。

（2）若将一质量为m、电量为?q的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：

F??qE??4?k?qx（x≤d）

显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合恢复力的特点。质点在电场中的运动是简谐振动，振动的周期为

T?2?m4?k?q??mk?q

当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为

t?T4?T4?mk?q

练习1：有两根光滑的绝缘杆，可在同一竖直平面内绕O点转动。两杆上各穿着一个质量为m、电量为q的小球。两杆与水平面夹角都等于θ时，两球在同一水平面上处于静止状态，如图1-1-9所示。现使两杆同时绕O点转动，此时小球在杆上的位置随之改变。问θ取何值时，小球到O点的距离l为最小值？

分析：杆转得缓慢意味着小球在每一个位置上都处于合力为零的平衡状态。运用三个共点力的平衡条件，可以得到l与θ之间的关系，从函数式去研究l的最小值应该是不难的。

解：两球受力对称，分析一个小球就足够了。

小球m受三个力作用，而重力mg和库仑斥力F的合力跟支持力N必定等大反向，取长度l，

F?kq22?2lcos??q22。由图可见

m,q N m,q l θ mg F k?2lcos???mgtan?

θ O θ kq2则l2?4mgcos??tan?2

又因为

kq24mg是恒量，设x?cos??tan??2122sin?cos??12sin2?，

当???4时，xmax?12，lmin?qk2mg。

练习2：如图1-1-10，半径分别为2r、4r、6r的三个同心导体球壳，球心有点电荷Q，另有A、B、C三点到球心距离分别为r、3r、5r、，要使这三个点的电场强度相等即EA=EB=EC，问三个球面各需带电量多少？

分析：A、B、C每一个点的场强，都包含了三个球面电荷各自的贡献。但不要忘了，对于任一个球面的电荷，在其球面内产生的声强都是零。 解：首先看A点。无论三个球壳的内外表面带多少电荷，它们在A点都不产生电场，EA只是由点电荷Q产生的。

EA?kQr2Q

A B C 1 2 3 再看B点。由于Q的存在和静电感应，球壳1的内表面必出现－Q，球壳1外表面出现感应电荷q1，球壳2与球壳3的电荷在B点不贡献电场，于是有

EB?kQr2?kQ?3r?2?kQ?3r?2?kq1?3r?2，得q1=9Q

球壳1的内外表面共有电荷9Q－Q＝8Q。

再看C点。球壳2的内表面感应出－9Q，设球壳2外表面出现q2，球壳3电荷在C点不贡献电场。根据叠加原理

EC?kQr2?kQ?5r?2?kQ?5r?2?k9Q?5r?2?k9Q?5r?2?kq2?5r?2

则q2＝25Q

球壳2的内外表面共有电荷25Q－9Q＝16Q

球壳3的内表面感应出－25Q，外球面可带任意电荷。

?9Q?QLq练习3．点电荷+9Q和-Q，固定放置，相距L，第三个电荷q只能在过+9Q与-Q直线上运动。问：

（1）q应满足什么条件，才能在直线上平衡？ （2）q的平衡稳定性跟q的电荷符号有什么关系？

︸ x2解：如图所示，设合场强为零的点在?Q外侧x处，因为k9Q/(L?x)x?12L?kQ/x，得

2。q无论正负大小如何，都可在该点平衡。再设q被偏离平衡位置向右发生微小位

移?x，如果q为负，则合力F可写成（向右为正）：

F?kQq?L????x??2?2?k9Q?q?3??L??x??2?2?kQq?3??L?L??x?9?????x??2??2??L??3????x??L??x??2??2?2222

?2(3L?4?x)?x?L??3???x???L??x??2??2?22?kQq?0

F为负值，说明q为负电荷时，合力与?x反向，平衡为稳定平衡，F为回复力。如果q为正电荷时，仿上述方法易证明F为正值，不具有回复力性质，平衡不稳定。