1.1库仑定律和电场强度(4)

?

h?mgk?tan30?2

?

0.1?303?109?39.0?10?33?1?10?6C

即B的带电量为1?10?6C。

练习9．长为L的一根绝缘细线拴一个金属小球A，A球正下方固定着另一金属小球B。A、B两球质量都是m，带电量都是+q，且都可以看成是点电荷，它们之间距离也是L。

（1）A球静止时设细线被拉紧，求细线的拉力多大？

（2）如果把细线剪断，当球A下落了高度h（h?L）时，A球的速度有多大？

（3）不剪断细线而令A球在水平面上做圆锥摆运动，细线跟竖直方向夹角为60o时，A球角速度ω多大？细线拉力多大？

1解：根据动能定理，2mv2A?mgh?qU，其中U是由B球电荷产生的电场中两点间

的电势差，U的大小是

U?kqL?h?kqL?kqhL(L?h)

如图所示，做圆锥摆运动的A球受三个力作用，r?Lsin60，AB距离=2Lsin60：

??

Tsin30?k?q2?2(2Lsin60)cos30??mg

2?2Tcos30?k?q(2Lsin60)sin30??m?Lsin602?

联立两式可得：

22T?mg?kqL（1）

；

vA?（2）

2??kq??2hg??mL(L?h)???

mgcos30????kq3L22? （3）

mLsin30cos30?T?mgsin30??kq3L22cot30?，。

练习10．如图（a）所示，两块互成60o夹角的很大的接地金属板间有一

点电荷， q距离两板的距离均为a，求点电荷q所受到的静电力。

分析：由于导体板处在点电荷q的电场中，导体表面会产生感应电荷，但

感应电荷的分布却是不均匀的，如果利用导体板的电势为零，设法找到等效的替换模型，即可求解本题。由于静电感应，电荷q受两块金属板上感应电荷的作用，根据金属板为等势面及对称性，其作用效果可等效为5个点电荷对该电荷的作用，这五个点电荷的位置和将两导体板看成平面镜后像点的位置相同，其中 三个带负电荷，两个带正电荷。

解：如右图所示，1、3、5点电荷带负电，2、4 点电荷带正电。带电量均为q，由电荷分布的对称性 可知，合力应设AO指向O

F1A?F5A?kqL22?cos60??kq222L

F2A?F4A?kq2?2

22(2Lsin60)?cos30???3kq6L22

F3?kq?kq4a22

(2a)

F合?2F1?F3?2F2?kqL2∴

L22?33?????46???

而a?，故

F合?9?2348?kqa2

点评：本题使用了电像法，由此，我们可以看到在解决静电感应与受力问题时，利用与

光学成像近似的规律和方法来解决问题的独特魅力。

练习11．如图所示，在点电荷Q的电场中，已知A点场强为100V/m，C点场强为36V/m，B是AC的中点，则B点场强多大？

解： 100?kQ/OA2 (1)

2 36?kQ/OC

(2)

EB?kQ/OB (3)

22(1)?(3)得 EB?OA? (4)

?100???OB??

(1)?(2)得 由(4)式得

22OCOA?53 (5)

EB??20A?100????OC?OA??2

2254????2??100?OC????1?????OA?????3??100???4?

??V/m??56.25V/m

R练习12．在半径为R的球形空间内距球心r（r?R）的一点有一点电荷q，求球内的平均场强E??Er1?Viq，式中V为球的体积，

V?V1Pr1Ei为球内某一点的场强，ΔVi为该点的小体元。

（a）

解：如图（a）所示，Ei为球内任一点的场强，r为从q指向P

01的单位矢量（即r10的大小为1）有：E?Kqr120r1

由于在各点的ri以及r10均不相同，因此初看起来，计算?E1?Vi是相当困难的，我们不妨将E1的表达式代入E中，有

E??E1?Vi

V

qri2??kr1?Vi?0

V?kqVri2ri?Vi0

令

qV?? 则：E??k??Viri2r1???k0??Vir22??r?

01在上式中，可将?视为体积为V，带电量为q的均匀带电球的体电荷密度，??V则是位于P点处的点电荷的电量，又?r10表示从P指向q处的单位矢量，则?k表示均匀带电球体在球内q处产生的场强，这是比较容易解决的。 我们可将均匀带电球分成两部分，如图41-34（b）所示。一部分为半径为r的均匀带电球体，其场强为??k432r??Vir22??r?则

01ro?r1??a??r30a，式中a代表从O指向q的单位矢量，第

0二部分为从r到R的均匀带电球壳。因为均匀带电球面内一点的场强为零，可知第二部分带电球壳在q点处产生的场强为零。故：

（b）

4??3??r??03E???ka?2r??????

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