详解：浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题数学(4)

所以(y1?y2)2≤48103?2?9，即y1?y2的最大值为3．

所以△APQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x?1．??15分

22．（本题满分15分）

设函数f(x)?a2x2（a?0），g(x)?blnx．

（Ⅰ）关于x的不等式(x?1)2?f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； （Ⅱ）对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k,m，使得

f(x)?kx?m和g(x)?kx?m都成立，则称直线y?kx?m为函数f(x)与

22“分界线”．设a?g(x)的b?e，，试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”？

若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推

理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识．满分15分． （Ⅰ）解法一：不等式(x?1)2?f(x)的解集中的整数恰有3个，

等价于(1?a)x?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a?0， 令h(x)?(1?a)x?2x?1，由h(0)?1?0． 且h(1)??a?0(a?0)，

所以函数h(x)?(1?a)x?2x?1的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[?3,?2)， ??????4分

?h(?2)?0,?h(?3)?0,433222222222故?解之得?a?． ??????6分

222解法二：(1?a)x?2x?1?0恰有三个整数解，故1?a?0，即a?1，

(1?a)x?2x?1??(1?a)x?1??(1?a)x?1??0，

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所以

11?a?x?11?a11?a，又因为0?4311?a32?1， ????4分

所以?3???2，解之得

122?a?． ?????6分

（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?exx?ex2x?elnx，则

F(x)?x?'??(x?e)(x?xe)．

e时，F'(x)?0．

所以当0?x?因此x?e时，F'(x)?0；当x?e时，F(x)取得最小值0，

e处有公共点(e,e2e2)． ??8分

e)，

则f(x)与g(x)的图象在x?设f(x)与g(x)存在 “分界线”，方程为y?即y?kx?e2?ke2e，

e在x?R恒成立，

?k(x?由f(x)?kx?2?k则x?2kx?e?2ke?0在x?R恒成立 ． 所以??4k2?4(2ke?e)?4k2?8ke?4e?4(k?因此k?e)?0

2e． ???11分

ex?e2(x?0)恒成立． e2下面证明g(x)?设G(x)?elnx?xe?，则G?(x)?ex?e?e(e?x)x．

所以当0?x?因此x?e时，G'(x)?0；当x?e时，G'(x)?0．

ex?e2(x?0)

e时G(x)取得最大值0，则f(x)?ex?e2故所求“分界线”方程为：y?

． ??????15分

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浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题

数学(理科)试题答案及评分参考

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分． 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分, 满分50分．

(1) A (6) D

(2) D (3) B (4) C

(5) C

(7) A (8)C (9)D (10) C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分, 满分28分．

(11) i (12) ?3 (13)

1312 (14) 4 (17)

?2m?2(15) 26?b?27 (16) 2三、解答题：本大题共5小题，共72分．

37

(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．满分14分．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分

?1?2cos(x??3)， ????????2分

所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ?????4分

（Ⅱ）因为 f(???3)?1311所以 1?2cos?=，即cos???． ???????5分

33，

因为

cos2?1?cos2??sin2??cos??sin?2cos??2sin?cos?222 ????8分

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?(cos??sin?)(cos??sin?)2cos?(cos??sin?)?cos??sin?2cos?，??????11分

又因为?为第二象限角， 所以 sin??223． ??????12分

所以原式?cos??sin?2cos???13??22323?1?222．????14分

(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等基础知

识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分． 解：（Ⅰ）?xn??52?(n?1)?(?1)??n?134??3n?5432，

32,?3n?54)．????4分

?yn?3xn?.?Pn(?n?（Ⅱ）?Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为y?a(x?2n?32)?212n?54．

2把Dn(0,n?1)代入上式,得a?1，??????7分

Cn的方程为y?x?(2n?3)x?n?1.??????8分 ∴

kn?y?|x?0?2n?3, ∵

22∴1kn?1kn1?1?1(2n?1)(2n?3)11kn?1kn?1?12(2n?1)[1?1(2n?3)],??10分

∴k1k21k2k3?1??1

11257792n?12n?311111)??. ??????14分 =(?252n?3104n?6?[()?()???(?)]

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(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知

识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思 想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分． 解：（Ⅰ）法一：易求BD?7,BF?2,DF?5,

由勾股定理知?BFD?900，

设点A在面BFD内的射影为O，过A作AG?DF于G，连结DO， 则?AGO为二面角A?FD?B的平面角. ??????3分

2在?ADF中由面积法易求AG?，??????5分

5由体积法求得点A到面BFD的距离是AO?所以sin?AGO?643010，

，

64所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

法二：易求BD?7,BF?2,DF???????7分

05,由勾股定理知?BFD?90，

过A作AG?DF于G，又过G作GH//BF交BD于H，连结AH. 则易证?AGH为二面角A?FD?B的平面角………………2分

2. 在?ADF中由面积法易求AG?，

5DG44?， 从而DG?,于是DF55所以GH?425,BH?15BD?75，??????3分

27在?BAD中由余弦定理求得cos?ABD?1225.??????4分

再在?BAH中由余弦定理求得AH2?.??????5分

104最后在?AGH中由余弦定理求得cos?AGH?64，???6分

所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

??????7分

（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，??????8分

所以CM//平面FBD，??????9分

当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ???10分

(VP?BFD)min?VC?BFD?VF?BCD?第 20 页 共 23 页

113???2?1sin120?.??14分 326