详解：浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题数学(3)

所以tan??tan??kAP?kBP??2y0x0?ax0?a?y0?1，

故?????2m?2????2m?2．

【答案】

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）

已知函数f(x)?2cos2x2?3sinx．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； （Ⅱ）若?为第二象限角，且f(???3)?13，求

cos2?1?cos2??sin2?的值．

【解析】(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．

满分14分．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分

?1?2cos(x??3)， ????????2分

所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ?????4分

（Ⅱ）因为 f(???3)?1311所以 1?2cos?=，即cos???． ???????5分

33，

因为

cos2?1?cos2??sin2??cos??sin?2cos??2sin?cos??cos??sin?2cos?222 ????8分

?(cos??sin?)(cos??sin?)2cos?(cos??sin?)，??????11分

又因为?为第二象限角， 所以 sin??223． ??????12分

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所以原式?cos??sin?2cos???13??22323?1?222．????14分

19．（本题满分14分）

在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?, 对一切正整数n，点Pn在函数y?3x?差数列?xn?． （Ⅰ）求点Pn的坐标；

（Ⅱ）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线

Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2?1）.记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求

1k1k2?1k2k3???1kn?1kn134的图象上，且Pn的横坐标构成以?52为首项，－1为公差的等

．

【解析】(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等

基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分． 解:（Ⅰ）?xn??52?(n?1)?(?1)??n?134??3n?5432，

32,?3n?54)．????4分

?yn?3xn?.?Pn(?n?（Ⅱ）?Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为y?a(x?2n?32)?212n?54．

2把Dn(0,n?1)代入上式,得a?1，??????7分

Cn的方程为y?x?(2n?3)x?n?1.??????8分 ∴

kn?y?|x?0?2n?3, ∵

22∴1kn?1kn?1(2n?1)(2n?3)?12(2n?1)[1?1(2n?3)],??10分

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∴1k1k212?151k2k3?17??171kn?1kn?19

12n?112n?3?[()?()???(?)]

=

11111(?)??. ??????14分 252n?3104n?620．（本题满分14分）

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB?1,AD?2，?ADC?60,AF?1,M是线段EF的中点.

?（Ⅰ）求二面角A?FD?B的正弦值；

（Ⅱ）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M?E?C的路线运动到点C，

求这一过程中形成的三棱锥P?BFD的体积的最小值.

【解析】(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基

础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分． 解：（Ⅰ）法一：易求BD?7,BF?0E MFC BDA 2,DF?5,

由勾股定理知?BFD?90， 设点A在面BFD内的射影为O，过A作AG?DF于G，连结DO， 则?AGO为二面角A?FD?B的平面角. ??????3分

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在?ADF中由面积法易求AG?25，??????5分

3010由体积法求得点A到面BFD的距离是AO?所以sin?AGO?64，

，

64所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

法二：易求BD?7,BF?2,DF???????7分

05,由勾股定理知?BFD?90，

过A作AG?DF于G，又过G作GH//BF交BD于H，连结AH. 则易证?AGH为二面角A?FD?B的平面角………………2分

2. 在?ADF中由面积法易求AG?，

5DG44?， 从而DG?,于是DF55所以GH?425,BH?15BD?75，??????3分

27在?BAD中由余弦定理求得cos?ABD?1225.??????4分

再在?BAH中由余弦定理求得AH2?.??????5分

104最后在?AGH中由余弦定理求得cos?AGH?64，???6分

所以求二面角A?FD?B的大小正弦值为

??????7分

（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，??????8分

所以CM//平面FBD，??????9分

当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ???10分

(VP?BFD)min?VC?BFD?VF?BCD?113???2?1sin120?. ???14分 326

21．（本题满分15分）

AMB?2?， 已知点A(?1,?0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足???????????2AM?BMcos??3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点.

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??????????（Ⅰ）求AM?BM的值，并写出曲线C的方程；

（Ⅱ）求△APQ面积的最大值.

【解析】(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，

同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

解：（Ⅰ）设M(x,y)，在△MAB中，AB?2，?AMB?2?，

???????????????????2?2根据余弦定理得A． ??12分 M?BM?2AM?BMcos2?4????????????????????2即(． AM?BM)?2AM?BM(1?cos2)4?????????????????????22． (AM?BM)?4AM?BMcos?4????????????????????22而A，所以(. M?BMcos??3AM?BM)???434??????????所以AM?BM?4． ??????4分 ??????????又A， M?BM?4?2?AB???因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（点M在x轴上也符合题意）， a?2，c?1． 所以曲线C的方程为

x24?y23?1． ??????6分

（Ⅱ）设直线PQ的方程为x?my?1．

?x?my?1?222由?x2，消去x并整理得(. 3m?4)y?6my?9?0y??1?3?4 ①

显然方程①的??0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)． 则S ???2y?y?y?y?APQ121221?y??由韦达定理得y12226m23m?4，y1y2??93m?422． ????9分

3m?3y?y)?(y?y)?4yy?48?所以(． ????11分 111222(3m?4)2222m?3，则t≥3，(y1?y2)?令t?348t??2t1． ??????12分

由于函数?(t)?t?所以t?1t≥1t在[3,??)上是增函数．

21033m?3?3，当t?，即m?0时取等号．

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