广东省揭阳市2018届高考数学二模试卷（理科）(5)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x0=由k2=

=﹣

＜0，

＞，得x0＞﹣1，∴x0的取值范围是（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，范围问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．

21．（12分）（2018?揭阳二模）设函数f（x）=（x﹣a）2（a∈R），g（x）=lnx，

（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；

（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围． （附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算F（1），F′（1），求出切线方程，联立方程组得到得x2﹣3x+lnx+2=0，设h（x）=x2﹣3x+lnx+2，根据函数的单调性判断即可；

（Ⅱ）设r（x）=2lnx+1﹣，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵F（1）=（1﹣a）2，F′（x）=2（x﹣a）+， 切线l的斜率是F′（1）=3﹣2a，

故切线方程是y﹣（1﹣a）2=（3﹣2a）（x﹣1）， 即y=（3﹣2a）x+a2﹣2， 联立y=F（x）=（x﹣a）2+lnx， 得x2﹣3x+lnx+2=0， 设h（x）=x2﹣3x+lnx+2， 则h′（x）=

，

由h′（x）＞0以及x＞0，得0＜x＜或x＞1， 故h（x）在（0，）和（1，+∞）递增， 故h（x）在（，1）递减， 又h（1）=0，h（

）=

﹣

＜0，

故存在x0∈（0，），h（x0）=0， 故方程x2﹣3x+lnx+2=0有2个根：1和x0， 从而切线l和曲线F（x）有2个公共点；

（Ⅱ）由题意得G（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣）=0在（0，+∞）至少有2个不同的根，

设r（x）=2lnx+1﹣，

①a＞0时，x1=a是G′（x）=0的根，

由y=2lnx+1与y=（a＞0）恰有1个公共点， 可知2lnx+1﹣=0恰有1根x2， 由x2=x1=a得a=1，不合题意，

故a＞0且a≠1时，检验可知x1=a和x2是G（x）的2个极值点；

②a=0时，G′（x）=x（2lnx+1）=0在（0，+∞）仅1根，故a=0不合题意； ③a＜0时，需r（x）=2lnx+1﹣=0在（0，+∞）至少有2个不同的实根， 由r′（x）=+

＞0，得x＞﹣，故r（x）在（﹣，+∞）递增，

故r（x）在（0，﹣）递减，∵a＜0，x→0时，r（x）→+∞， 且x＞1时，r（x）＞0，

由题意得，需r（x）min＜0，即r（﹣）=2ln（﹣）+3＜0，解得：a＞﹣2故﹣2

＜a＜0，

，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．

，

综上，a∈（﹣2

【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的

应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

22．（10分）（2018?揭阳二模）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα?x（0≤a＜π，α

），抛物线C：

（t为参数）．以原点O为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系

（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的

直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线，抛物线C的普通方程为y2=4x，由此能求出直线l1和抛物线C的极坐标方程．

（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0，把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA=求出ρB=﹣

，直线l2的极坐标方程为

，（ρ∈R），代入ρsin2θ=4cosθ，

，由此能求出△OAB的面积的最小值．

），

【解答】解：（Ⅰ）∵直线l1：y=tanα?x（0≤a＜π，α∴直线l1是过原点且倾斜角为α 的直线， 其极坐标方程为θ=α（

），（2分）

抛物线C的普通方程为y2=4x，（3分） 其极坐标方程为（ρsinθ）2=4ρcosθ， 化简得ρsin2θ=4cosθ．

（Ⅱ）由直线l1和抛物线C有两个交点知α≠0， 把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA=可知直线l2的极坐标方程为

，（6分）

，（ρ∈R），（7分）

代入ρsin2θ=4cosθ，得ρBcos2α=﹣4sinα，

所以ρB=﹣，（8分）

=

=

≥16，

∴△OAB的面积的最小值为16．（10分）

【点评】本题考查抛物线、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、三角形面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分） 23．（2018?揭阳二模）己知函数f（x）=|2|x|﹣1|． （I）求不等式f（x）≤1的解集A；

（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1． 【考点】R6：不等式的证明．

【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤1的解集A； （Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：|m+n|≤mn+1． 【解答】（ I）解：f（x）≤1即|2|x|﹣1|≤1． ∴﹣1≤2|x|﹣1≤1，∴|x|≤1…（2分） 解得：﹣1≤x≤1，所以A=[﹣1，1]…（4分）

（ II）证明：要证：|m+n|≤mn+1，即证（m+n）2≤（mn+1）2…（6分） 因为 （m+n）2﹣（mn+1）2=m2+n2﹣m2n2﹣1=（m2﹣1）（1﹣n2）…（8分） 因为m，n∈A，所以m2≤1，n2≤1，所以（m2﹣1）（1﹣n2）≤0 所以（m+n）2≤（mn+1）2 所以，|m+n|≤mn+6…（10分）

【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法的综合运用，属于中档题．