广东省揭阳市2018届高考数学二模试卷（理科）(4)

∴数列{+1}是等比教列，公比为2，首项为2．

+1=2n，可得an=n?2n﹣n．

（II）解：由（I）可得：

设数列{n?2n}的前n项和为Tn． 则Tn=2+2×22+3×23+…+n?2n， 2Tn=22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1， 相减可得：﹣Tn=2+22+…+2n﹣n?2n+1=可得：Tn=（n﹣1）?2n+1+2． ∴Sn=（n﹣1）?2n+1+2﹣

．

﹣n?2n+1，

【点评】本题考查了错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2018?揭阳二模）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=一几何体如图2示．

，连结AD，BC，得

（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；

（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出OP⊥EF、PQ⊥EF，OQ⊥OP，从而EF⊥平面OPQ，进而EF⊥OQ，OQ⊥平面ABFE，由此能证明平面ABCD⊥平面ABFE． （Ⅱ）以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）在图3中，四边形ABCD为等腰梯形，

O、Q分别为线段AB、CD的中点， ∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，

又AB∥EF∥CD，∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①（2分） 在图4中，∵OQ2+OP2=PQ2， ∴OQ⊥OP，（3分）

由①及OP∩PQ=P，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，（4分） 又OP∩EF=P，∴OQ⊥平面ABFE， 又OQ?平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABFE．（6分）

解：（Ⅱ）在图4中，由∠A=45°，CD=2，解得PE=PF=3，AO=OB=4，（7分）

以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 则B（0，4，0）、F（﹣1，3，0）、C（0，1，∴

=（﹣1，﹣1，0），

=（0，﹣3，

），

），（8分）

设=（x，y，z）是平面BCF的一个法向量， 则

，取z=3，得=（﹣

，3），（9分）

），（10分）

同理可得平面ADE的一个法向量=（﹣设所求锐二面角的平面角为θ， 则cosθ=|cos＜，＞|=

=

=，

所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．（12分）

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

19．（12分）（2018?揭阳二模）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2n﹣1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．

（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； （II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数； （Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，根据题意写出ξ 的分布列，

计算期望值；

（Ⅱ）设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，则X～B（3，0.7）， 计算E（X）即可；

（Ⅲ）计算小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率值即可．

【解答】解：（Ⅰ）设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ 的分布列为 ξ P 0 0.1 1 0.2 2 0.3 4 0.2 8 0.1 16 0.1 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

ξ 的期望值为E（ξ ）=0×0.1+1×0.2+2×0.3+4×0.2+8×0.1+16×0.1=4；﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ）小明在1次游戏中至少过两关的概率为0.7，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设小明在3次游戏中至少过两关的次数为X，可知X～B（3，0.7）， 则X的平均次数E（X）=3×0.7=2.1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） （Ⅲ）小明在3次游戏中所得奖品超过30件含三类：

恰好一次ξ=16和两次ξ=8，恰好二次ξ=16，恰好三次ξ=16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

?P（ξ=16）?P（ξ=8）2=3×0.1×0.12=0.003，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分

?P（ξ=16）2?P（ξ≠16）=3×0.12×（1﹣0.1）=0.027，﹣﹣﹣﹣﹣（10分） ?P（ξ=16）3=0.13=0.001；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 所以小明在

3

次游戏中所得奖品超过

30

件的概率为

P=0.003+0.027+0.001=0.031．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．

20．（12分）（2018?揭阳二模）己知椭圆

+

=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px

（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=． （I）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x0，y0），求x0的取值范围．

【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程；K7：抛物线的标准方程．

【分析】（I）利用抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，通过抛物线的定义，转化解得p=2，得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点F2（1，0），左焦点F1（﹣1，0），由|QF2|=，解得Q（，解椭圆的方程．

）利用椭圆的定义求出a，b．求

（II）显然k≠0，m≠0，由消去x，推出km=1，由消去y，

推出9k2﹣m2+8＞0，求出0＜m2＜9，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理求解x0的取值范围．

【解答】解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，

∴点M到直线x=﹣1的距离等于点M到焦点F2的距离，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，即﹣=﹣1，解得p=2，∴抛物线的方程为y2=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

可知椭圆的右焦点F2（1，0），左焦点F1（﹣1，0），由|QF2|=，得xQ+1=，又yQ2=4xQ，解得Q（，

），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

由椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=+=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴a=3，又c=1，得b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （II）显然k≠0，m≠0，由

消去x，得ky2﹣4y+4m=0，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由题意知△=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，

由

其中△2=（18km）2﹣4（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，

化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分

又k=，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣