2011高三数学一轮精品复习学案：对数函数与幂函数(3)

所以该函数在(?2,??)上是减函数，在(??,?2)上是增函数。

x2?4x?5方法二：f(x)?2=1+(x?2)?2，设在定义域内x1?x2，则

x?4x?4f(x2)?f?x1??[1??x2?2?]?[1??x1?2?]??2?21?x2?2?2?1?x1?2?2??x1?x2??x1?x2?4? 22?x2?2??x1?2?当x1,x2????，?2?时，f(x2)?f(x1)?0,y?f(x)在???，?2?上是增函数， 即增区间为???，?2?； 当x1,x2??-2,+??时，f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在?-2,+??上是减函数，即减区间为?-2,+??。（2）∵图象关于直线x??2对称，又∵

?2?22?2?(??)???2???(?2)?2?,?f(??)?f???2??。 22??三、幂函数中的三类讨论题

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

类型一：求参数的取值范围

?2m2?m?3〖例1〗已知函数

f(x)?x2(m?Z)为偶函数，且f(3)?f(5)，求m

的值，并确定f(x)的解析式．

分析：函数

f(x)?x?2m?m?3(m?Z)为偶函数，已限定了?2m2?m?3必为偶数，

且m?Z，f(3)?f(5)，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f(x)的解析式．

2解：∵f(x)是偶函数，∴?2m?m?3应为偶数．

又∵

f(3)?f(5)，即3?2m2?m?3?3?2???5?2m?m?3，整理，得?5??2m2?m?3?12，∴?2m?m?3?0，

∴

?1?m?32．

又∵m?Z，∴m?0或1．

22当m=0时，?2m?m?3?3为奇数（舍去）；当m?1时，?2m?m?3?2为偶数．

2f(x)?x故m的值为1，．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题

2f(x)?x例2 已知函数，设函数g(x)??qf[f(x)]?(2q?1)f(x)?1，问是否存在实数

?4?q(q?0)，使得g(x)在区间??∞，0)上是增函数？若存在，请是减函数，且在区间(?4，求出来；若不存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

242解：∵f(x)?x，则g(x)??qx?(2q?1)x?1．

假设存在实数q(q?0)，使得g(x)满足题设条件， 设

x1?x24，

22?(x1?x2g)((x2?x?1)])． 1)[q1(x1?x2)?(2q?x则

g(1?若

x)2??1x1，x2???∞，?4??4???∞，，易知x1?x2?0，x2?x1?0，要使g(x)在上是减函数，

22则应有q(x1?x2)?(2q?1)?0恒成立．

∵

x1??422x≤?4x?x?32．而q?0， 212，，∴

22q(x?x)?32q.． 12∴

从而要使q(x?x)?2q?1恒成立，则有2q?1≥32q，即

2122q≤?130．

0)0)若x1，x2?(?4，，易知(x1?x2)(x2?x1)?0，要使f(x)在(?4，上是增函数，则应有

2q(x12?x2)?(2q?1)?0恒成立．

∵?4?x1?0，?4?x2?0，

2222q?0x?x?32q(x?x)?32q． 1212∴，而，∴

要使q(x?x)?2q?1恒成立，则必有2q?1≤32q，即

2122q≥?130．

综上可知，存在实数函数．

q??1?4?0)上是增30，使得g(x)在??∞，上是减函数，且在(?4，注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

2ky?(k?k)x例3 讨论函数

2?2k?1在x?0时随着x的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

2解：（1）当k?k?0，即k?0或k??1时，y?0为常函数； 2（2）当k?2k?1?0时，k?1?2或k?1?2，此时函数为常函数；

2??k?k?0，?2?k?2k?1?0，（3）?即0?k?1?2时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小； 2??k?k?0，?2?k?2k?1?0，（4）当?即k??1或k?1?2时，函数为增函数，函数值随x的增大而

增大；

2??k?k?0，?2?k?2k?1?0，（5）当?即1?2?k?0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

?k2?k?0，??2?k?2k?1?0，（6）当?，即?1?k?1?2时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．

【感悟高考真题】

1、（2008年湖南卷13）设函数y?f(x)存在反函数y?f?1(x),且函数

y?x?f(x)的图象过点(1,2),则函数y?f?1(x)?x的图象一定过点 . (-1,2)

?1f(x)?log(x?1)y?f(x)，则方程32、（2009重庆卷文）记的反函数为

f?1(x)?8的解x? ．

【答案】2

?1y?1y?f(x)?log(x?1)f(x)?3x?1，于是由x?33解法1由，得，即

3x?1?8，解得x?2

解法2因为f?1(x)?8，所以x?f(8)?log3(8?1)?2 3、（2009北京文）为了得到函数

所有的点 （ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C

解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A．B．

y?lgx?310的图像，只需把函数y?lgx的图像上

y?lg?x?3??1?lg10?x?3?，

，

y?lg?x?3??1?lg10?x?3?y?lg?x?3??1?lgx?310，

C．

D．

y?lg?x?3??1?lgx?310.

故应选C.

4、（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和

则a等于

3y?ax2?15x?94都相切，

25217257??-A．?1或64 B．?1或4 C．4或64 D．4或7

-答案：A

33(x,x)，所以切线方程为(1,0)y?x00【解析】设过的直线与相切于点

y?x03?3x02(x?x0)

即

y?3x0x?2x0，又(1,0)在切线上，则x0?0或

23x0??32，

当

x0?0时，由y?0与

x0??y?ax2?1525x?9a??464， 相切可得

当

3272715y?x?y?ax2?x?92时，由44与4相切可得a??1，所以选A.

y?1?ln(x?1)(x?1)2的反函数是

5. （2010全国卷2理数）（2）.函数

2x?12x?1y?e?1(x?0)y?e?1(x?0) （A） （B）2x?12x?1y?e?1(x?R)y?e?1(x?R) （C） （D）

【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得

，即

∴在反函数中

，又

，故选D.

；

6. （2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C]

（A）幂函数

（B）对数函数

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