2011高三数学一轮精品复习学案：对数函数与幂函数

2011版高三数学一轮精品复习学案：对数函数、幂函数

【高考目标定位】

一、考纲点击 1、对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y=ax与对数函数y?logax互为反函数（a?0,且a?1） 2、幂函数

（1）了解幂函数的概念。

1

（2）结合函数y=x，y=x，y=x，y?，y?x2的图象，了解它们的变化情况。

x

2

3

1二、热点提示 1、对数函数

（1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。

（2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。

2、幂函数

（1）常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质；

（2）多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。

【考纲知识梳理】

一、对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义

如果ax?N(a?0且a?1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作x?logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

表格 1

对数形式 一般对数 特点 底数为aa?0,且a?1 记法 logaN

常用对数 自然对数 底数为10 底数为e lgN lnN 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（a?0,且a?1）： ①loga1?0，②logaa?1，③a（2）对数的重要公式： ①换底公式：

logaN?N，④logaa?N。

NlogbNlogaN?(a,b均为大于零且不等于1,N?0)； bloga1，推广logab?logbc?logcd?logad。 alogb②logab?（3）对数的运算法则：

如果a?0,且a?1，M?0,N?0那么 ①

loga(MN)?logaM?logaN；

logaM?logaM?logaNN；

②

nlogM?nlogaM(n?R）； a③

④

logambn?nlogabm。

3、对数函数的图象与性质

a?1 图象 性质 （1）定义域：（0,+?） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当0?x?1时，y?(??,0)； 当x?1时，y?(0,??) 0?a?1 （4）当x?1时，y?(??,0)； 当0?x?1时，y?(0,??)

（5）在（0,+?）上为增函数 （5）在（0,+?）上为减函数 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系 提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。 二、幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

α

注：在上图第一象限中如何确定y=x，y=x，y=x，y?x，y=x-1方法：可画出x=x0； 当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x，y=x， y=x，y?x， y=x-1； 当0

y=x 定义域 R R R [0，??） y=x2 y=x3 -13

2

3

2

121212y?x 12y=x-1 ?x|x?R且x?0?

值域 奇偶性 单调性 R 奇 增 [0，??） 偶 R 奇 [0，??） 非奇非偶 增 ?y|y?R且y?0? 奇 x∈(0,+?)时，减； x∈(-?,0)时，减 x∈[0，??）时，增 增； x∈(??,0]时，减 定点 (0,0)，（1，1） 【热点难点精析】 （一）对数函数 一、对数的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路

（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

（2） 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、

幂再运算；

（3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。 〖例1〗计算

2(lg2)?lg2?lg50?lg25；（2）(log32?log92)?(log43?log83)； （1）

lg5?lg8000?(lg23)211lg600?lg0.036?lg0.122（3）

22?(lg2)?(1?lg5)lg2?lg5?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5 解：（1）原式

?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2；

?(（2）原式

lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3?)?(?)?(?)?(?)lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg25lg35??2lg36lg24；

?

2lg5(3?3lg2)?3(lg2)?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3； （3）分子=

(lg6?2)?lg分母=

3616??lg6?2?lg?4100010100；

3?原式=4。

二、比较大小 1、相关链接

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0; ②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)

?0

（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1.

当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0 logbf(x).

②若1>a>b>0,如图2。 当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0

①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于0?a?1，给出下列四个不等式： ①loga(1?a)?loga(a?); ②loga(1?a)?loga(1?)； ③a④a1?a1a1a?a1?1a1a;

;其中成立的是（ ）

1?a?a1?（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④

分析：从题设可知，该题主要考查y?logax与y?ax两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。