2011高三数学一轮精品复习学案：对数函数与幂函数(2)

1?1111?a解答：选D。∵0

aaa1②④正确。

三、对数函数性质应用 1、相关链接

（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。

（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。 （3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域；

②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)

③分别确定这两个函数的单调区间；

④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。 2、例题解析

〖例〗设函数f?x???1?x??2ln?1?x?.

2(1)求f?x?的单调区间;

?1?x???1,e?1??e?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的(2)若当

取值范围;

2??fx?x?x?a在区间?0,2?上的根的个数. x(3)试讨论关于的方程:

1?2x?x?2??f??x??2??x?1????x?1?x?1. 1分 ?解 （1）函数的定义域为??1,???,?由f?x??0得x?0;

2分

?由f?x??0得?1?x?0, 3分

则增区间为?0,???,减区间为??1,0?.

4分

?1?2x?x?2??1,0f??x???0,???上递减,在?0,e?1?上递增,x?1(2)令得x?0,由(1)知f?x?在?e

6分

?1?11f??1??2?2,e2?2?2?22f?e?1??e?2,且?ee由?e,

8分

?1??x???1,e?1??e?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成

立.

9分

2??fx?x?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则 (3)方程

g??x??1?2x?1?1?xx?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；

a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.

14分

a?(2?2ln2,3?2ln3]注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。

四、对数函数的综合应用

〖例1〗（12分）已知过原点O的一条直线与函数y?log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y，轴的平行线与函数y?log8x的图象交于C、D两点。 （1） 证明点C、D和原点O在同一直线上； （2） 当BC平行于x轴时，求点A的坐标。

分析：（1）证明三点在同一条直线上只需证明kOC?kOD； （2）解方程组得x1，x2，代入解析式即可求解。

解答：（1）设点A，B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1>1，x2>1 则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2。 因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1log8x2， ?x1x2

点C、D的坐标分别为（x1，log2x1）、（x2，log2x2） 由于log2x1?log8x1?3log8x1,log2x2?3log8x2

log82OC的斜率为k1=

log2x13log8x1， ?x1x1log2x23log8x2， ?x2x2OD的斜率为k2?由此可知k1?k2，即O、C、D在同一直线上。

注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到x1与x2关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对x1、x2的范围没有搞清楚。

（2）由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2， 即得log2x1=log2x2，x2?x13

代入x2log8x1?x1log8x2，得x13log8x1?3x1log8x1

3由于x1?1，知log8x1?0,故x1?3x1

13考虑x1?1，解得x1?3，

于是点A的坐标为（3，log83）

注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。

〖例2〗设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围

解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中点公式得D(a+2, log2

a(a?4) )

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=?=

(a?2)2log2a(a?4),

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影

(a?2)2由S△ABC= log2a(a?4)>1, 得0< a<22－2

（二）幂函数 一、幂函数定义的理解 1、相关链接

（1）根据幂函数的定义，如果f(x)=x?是幂函数，则x?的系数必须为，且?为常数。 （2）几个具体函数的定义 ①正比例函数y?kx(k?0)； ②反比例函数y?k(k?0,x?0)； x③一次函数y?kx?b(k?0)； ④二次函数y?ax2?bx?c(a?0)； ⑤幂函数y?x?（??R） 2、例题解析

〖例1〗已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。

分析：（1）（2）（3）（4）可根据函数的定义列出等式或不等式求解。

解答：（1）若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1，解得m=-4/5，此时m2-m-1≠0，故m=-4/5。 （2）若f(x)是反比例函数，则5m-3=-1，解得m=-2/5，此时m2-m-1≠0，故m=-2/5。 （3）若f(x)是二次函数，则-5m-3=2，即m=-1，此时m2-m-1≠0，故m=-1。 （4）∵f(x)是幂函数，故m2-m-1=1，此时m2-m-2=0，解得m=2或m=-1。 综上所述，（1）当m=-4/5时，f(x)是正比例函数； （2）当m=-2/5时，f(x)是反比例函数； （3）当m=-1时，f(x)是二次函数； （4）当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数。 二、幂函数的图象及应用 1、相关链接

幂函数y?x?的图象与性质由于?的值不同而比较复杂，一般从三方面考查： （1）?的正负：?>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；?<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

（2）曲线在第一象限的凹凸性：?>1时，曲线下凸；0

（3）?=

n（其中m?N?，n?Z且m,n互质）。 m①当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称； ②当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称；

③当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。 注：幂函数的图象无论?取何实数，其必经过第一 …… 此处隐藏：2114字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……