数形结合在中学教学中的应用论文(4)

河北师范大学本科生毕业论文

?x?y?z?0?n?BD?0ABBD。设是平面的法向量，那么，即，n??x,y,z?DC1???1,0,1???11?z?0?n?A1D?0?可取n??1,1,0?。同上所述，设m是平面C1BD的法向量，那么?m?BD?0，可取m??1,2,1?。

m?DC?01?所以cosn,m?

n?mn?m?3。故而二面角A1?BD?C1的大小为30?。 23运用数形结合解题常见的误区

在运用数形结合思想时，我们一定要遵循等价原则，等价原则就是要求数与形之间的转化必须是对应的，即研究问题的图形能够正确反映代数之间的关系，代数关系要严谨地反映图形的几何性质。另外，还要遵循数形互补原则，数与形相互转化，综合考虑，寻求最简单的求解途径，否则，我们就经常出现以下错误情况。

3.1数中构形，图不准确

借助图形解题，一定要严格考虑题目中的条件，作出精确图形，在定性的分析问题时可以只作草图，但必要时还需对图形的直观分析给出严谨的证明。

例3.1 方程x2?2x的解的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3

错解：在同一坐标系内画出函数y?x2和函数y?2x的图像草图，如图3.3.1所示，他们有两个交点，故选C。

图3.1.1 图例

14

河北师范大学本科生毕业论文

正解：在画图时，我们只注意了函数图像的大致走向，而没有精确作图，从而导致错误。事实上，如图3.1.2所示，当x?0时，两个函数图像有一个交点；当x?0时，由于两个函数的增长速度不同，使得两个图像有两个交点。故选D。

图3.1.2 图例

因此，我们再借助图形解题，作图时一定要注意以下几点：图像是不是画全；图像的关键点；图像的对称性，凹凸性，奇偶性；图像的增长速度。

3.2形中思数 形转数不等价

再利用代数关系解决图形问题时，一定要使代数关系和图形的几何意义对应，否则，我们得到的代数式就是错误的。

x2y2例3.2 已知椭圆2?2?1?a?b?0?，从中心作两条互相垂直的弦AC，BD。顺

ab次连接A，B，C，D得一四边形，记其面积为S，求S的最小值。

图3.2 图例

错解：先画出图形，如图3.2所示，由对称性可知，四边形为菱形，根据椭圆的参数

s,bsin??，其中0???方程设点A的坐标为A?aco?

?2，由于AC?BD，可得点

15

河北师范大学本科生毕业论文

????????，化简为D??asin?,bcos??，那么S?4S?AOD?2OA?OD， D?acos??,bsin?????????2?2?????而2OA?OD?2a2cos2??b2sin2??a2sin2??b2cos2?

?2?a4cos2?sin2??a2b2cos4??a2b2sin4??b4sin2?cos2? ?2?a4?b4?cos2?sin2??a2b2?1?2sin2?cos2??

21 ?2?a2?b2??sin22??a2b2

4 ?2a2b2?2ab

当sin2??0时，等号成立，故S有最小值2ab。

分析：在椭圆中，用参数方程表示椭圆时，离心角特别容易与倾斜角相混淆，本题就是混淆了点A的离心角和OA的倾斜角，导致问题错解。

正解：设OA?r1，OD?r2，OA的倾斜角为?，所以点A坐标为A?r1cos?,r1sin??，

????????点D的坐标为D?，即D??r2sin?,r2co?s?，分别代入rcos??,rsin???????2?2?2?2?????x2y21111222a2b2?2?1并联立化简得：2?2?2?2?，即r1r2?。?22211ababr1r2r1r2a?b?a2b24a2b2S?2OA?OD?2r1r2?2，当且仅当r1?r2时等号成立，即点A在直线y?x上时S有

a?b24a2b2最小值。

22a?b4数形结合思想的培养

《义务教育数学课程标准》明确提出“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的“四基”标准，这就要求我们就一定要重视数学思想的培养。而数学是研究数与形两个方面的一门学科，我们在分析问题，解决问题时，要把两者结合起来，把两者完美的结合在一起考虑问题,可以互相促进,推进数学的发展和完善。因此，我们要加强数形结合思想的培养。

4.1加强概念教学

数学思想是我们在学习教材知识的同时挖掘出来的隐形的知识，而数形结合的思想大

16

河北师范大学本科生毕业论文

多蕴含在概念的教学中，加强概念教学，在概念教学中，把抽象概念赋予形的直观，尤其是具有几何意义的概念（复数，复数的模，绝对值，导数等），给出概念，结合几何图形讲几何意义更易理解和把握，在概念的形成过程中体会数形结合思想。

4.2熟悉最基本图像

运用数形结合解决问题，首先我们要对基本图像熟悉掌握，尤其是六种基本初等函数的图像及二次函数和绝对值函数，只有掌握函数的图像，我们才能更快的反应出函数的性质。另外，熟练应用图像的各种变换（伸缩、平移、翻转、对称）作图，如函数y?的图像可利用函数y?质处理复杂函数。

1x?11的图像向右平移一个单位得到，这样我们可以根据基本函数的性x4.3培养学生观察、联想的能力

在数学教学中，形象思维和抽象思维相结合可提高学生的想象力和创造力，形象思维可以提供各种想象，联想，创造性构思。解决问题时，要善于观察，发掘问题中的特点，通过这些特点联想以前学过的知识，把问题与学过的知识联系起来，对知识进行转化化简，提高利用数形结合处理问题的能力。如函数y?3sinx?2y?b，通过观察，联想到k?表

3cosx?2x?a示点?x,y?与点?a,b?连线的斜率，故将知识转化为以原点为圆心，以3为半径的圆上的点

?3cosx,3sinx?与点?2,2?连线的斜率。

4.4利用多媒体展现数形结合,激发学生学习兴趣

信息技术进入数学，我们可以利用多媒体课件进行教学。利用多媒体课件，可以使数与形之间建立相应的对应，使图形动态地直观地展现在学生面前，这样学生能够更直接的理解我们所要学习的内容，理解数形结合解题的优越性。如在学习平行线的性质时，利用几何画板动态变化截线，通过观察角的变化，可以很快得到平行线的性质。利用多媒体讲解数形结合更加的直观，使学生更容易理解和领悟，从而激发学生的学习兴趣，提高教学质量。

4.5结合学生的认知结构循序渐进地逐步渗透数学思想

学生的心理认知的发展是一个由浅入深、由简单到复杂的发展过程。教师要遵循这一规律开展教学，例如对于一些比较抽象的概念，我们可以采取数形结合的方式讲解，使学

17

河北师范大学本科生毕业论文

生更易理解。平时，学生在学习中不断运用数形结合解决问题，体会数形结合的优点，逐渐的理解、领悟、运用这一数学思想。

18