2009届高考数学难点突破训练 - 圆锥曲线(4)

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所以kNQ?y0?3x0?0??3m?9?3k?km942??1k?3k2?4m?9. ②

由①、②得 m?4或?

?m?0.

11. .(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入y2?4x,,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0 设M(x ,y).则

2?x1?x2k?2x??,?2?2k ?y?y22?y?1?.?2k?∴点M的坐标为(

K?22,) 2kk2消去k可得M的轨迹方程为2?2x?2(x?0).

k23??22 (2)由 d=得

6k2k?4?52k?m?15,

?1k8k??1?3?m, 12即 0＜＜,得

1120＜?1?3?m?即 ?152,

192?m??4,

?m??2 或 ?192,?2)

故的取值范围为 (-

12. （Ⅰ）设F1?的坐标为(m,n)，则解得m??95,n?25nm?1??12且2?m?12?n2?3?0．

， 因此，点 F1?的坐标为(?92,)． 55（Ⅱ）?PF1??PF1，根据椭圆定义，

952得2a?|PF1?|?|PF2|?|F1?F2|?(??1)?(25?0)2?22，

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?a?2，b?2?1?1． x2∴所求椭圆方程为

2?y2?1．

（Ⅲ）?a2c?2，?椭圆的准线方程为x??2．

设点Q的坐标为(t,2t?3)(?2?t?2),d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的右准线的距离． 则d1?d1d2?(t?1)?(2t?3)22?25t?10t?10，d2?t?2．

25t?10t?10t?2t?2t?2(t?2)222?5?t?2t?2(t?2)2，

令f(t)?(?2?t?2)，则

f?(t)?(2t?2)?(t?2)?(t?2t?2)?2(t?2)(t?2)43,43422??(6t?8)(t?2)3，

43?当?2?t??f?(t)?0，?43?t?2,f?(t)?0， t??，f?(t)?0．

∴ f(t)在t??d1d2时取得最小值．

432241,)． 33因此，最小值＝5?f(?)?，此时点Q的坐标为(?注：f(t)的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

d141,)即为切点P，的最小值即为椭圆的离心率． 33d2说明：求得的点Q(?

13. （1）由

x225?y216?1得y?16(1?2x225)，则

x?y?x?16(1?222x225),x?[?5,5]

则16?x?y?25

所以x?y的最大值为25，最小值为16。

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2222七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

（2）如图，由xA?5及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设B(5cos?,4sin?)为椭圆上任一点，又AC方程为

x5?y4?1，即4x?5y?20?0。所以B到AC的距离为

d1?20cos??20sin??2041202sin(???41202?204112?4)?20?202?2041

同理得D到直线AC的距离d2?所以四边形ABCD最大面积S?

14. （1）∵

23,e,43

AC(d1?d2)max?202。

成等比数列 ∴e?223?43 e?232

设p(x,y)是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 x?(y?22)y?94222?223,化简得9x?y22?9

2即x?2y9?1为所求的椭圆方程.

12（2）假设l存在，因l与直线x??相交，不可能垂直x轴

因此可设l的方程为：y?kx?m由

?y?kx?m22消去y,得9x?(kx?m)?9整理得 ?22?9x?y?9(k2?9)x?2kmx?(m?9)?0 ①

22方程①有两个不等的实数根

∴??4km?4(k?9)(m?9)?0即m?k?9?0 ② 设两个交点M、N的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) ∴x1?x2?12?2kmk2222222?9

∵线段MN恰被直线x??平分 ∴?12?x1?x22k2即?2kmk?922??1

∵k?0 ∴m?k2?92k ③ 把③代入②得 (?92k)?(k2?9)?0

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∵k?9?0 ∴

2k?94k222?1?0 ∴k?3解得k?3或k??3

∴直线l的倾斜角范围为(

15. 由题意得：

??3,2)?(?2,2?3)

?y?kx?m?（II）由?x2得(3k2?1)x2?6mkx?3(m2?1)?0,

2?y?1??3由于直线与椭圆有两个不同的交点，???0，即m2?3k2?1 ①

（1）当k?0时，设弦MN的中点为P(xp,yp),xM、xN分别为点M、N的横坐标，则

xM?xN23mk3k?12xp???从而yp?kxp?m?m3k?11k2kAP?yp?1xp2??m?3k?13mk2

又AM?AN,?AP?MN,则?m?3k?13mk2??即2m?3k?1 ②.

2m?131222将②代入①得2m?m，解得0?m?2, 由②得k??0,解得m? ,

故所求的m取值范围是(,2)

21（2）当k?0时，AM?AN,?AP?MN,m?3k?1,解得?1?m?1

22

16. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y?k(x?1)可化为x?1ky?1.

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将x?(1k21ky?1代入x?3y222?a,消去x，得

2?3)y?2k1y?1?a2?0. ①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

??4k22?4(k22?3)(1?a)?0,2整理得(1k2?3)a2?3，

即a?3k1?3k2.

2k2 （II）解：设A(x1,y1),B(x2,y2).由①，得y1?y2?1?3k?2k因为AC?2CB,. 得y1??2y2，代入上式，得y2?21?3k13于是，△OAB的面积 S?|OC|?|y1?y2|?|y2|

22

?3|k|1?3k2?3|k|23|k|?32.

其中，上式取等号的条件是3k2?1,即k??33.

由y2??2k1?3k332,可得y2??33.

将k?,y2??33及k??33,y2?332这两组值分别代入①，均可解出a2?5.

2所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x?3y?5. 17. (1) ∵l是线段AA?的中垂线，∴PA?PA?,

∴||PA|－|PO?||=||PA?|－|PO?||=|O?A?|=22.即点P在以O?、A为焦点，以4为焦距，以22为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为

x22?y22?1.

????????????? (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线m的方程为y?k(x?2),则由ON??OM,得

?y?k(x?2).由?2,得(1?k2)y2?4ky?2k2?0.∴2?x?y?2 x2??(x1?2)?2,y2??y14k1?k2y1?y2?,

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