2009届高考数学难点突破训练 - 圆锥曲线(2)

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（2）设直线l:y?k(x?1)(k?0)与轨迹C相交于A、B两个

不同的点，与x轴相交于点D.若????????AD?2DB,求?OAB的面积取得最

大值时的椭圆方程．

19. 点A、B分别是以双曲线

x2?y21620?1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

PA?PF?0

（1）求椭圆C的的方程； （2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的

距离d的最小值。

20. 已知正方形的外接圆方程为x2?y2?24x?a?0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．

（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程． 答案：

21. （1）设椭圆C的方程为

xy2a2?b2?1?a?b?0?．

2由题意可得：b?1,c25a?5，?a?5，?x25?y?1

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（2）（1）当直线AB的斜率k存在时，

设直线AB的方程为y?kx?m,设A?x1,y1?,B?x2,y2?

?x22?y?1?，??5k2?1?x2?10kmx?5m2?5?0 ?5?y?kx?m??x1?x2??10km5k?12

22?y1y2??kx1?m??kx2?m??kx1x2?km?x1?x2??m ?????????OA?OB?0，?x1x2?y1y2?0

即?k?1?x1x2?km?x1?x2??m?0，

22?k2?1??5m?5?25k?12?10km2225k?1?m?0

2?6m?5k?5?0 ①

22又?OD?AB,设D?x,y?，?k??xy ②

又?点D?x,y?在直线AB上，?y?kx?m

x2?m?y?kx?y?y ③

22222?x?xx?y?6?x2?y2??5??0 把②③代入①得6?y???52?5?0，?2??y?yy?22?点D的轨迹方程为x?y?56?y????0?

（2）当直线AB的斜率不存在时，D???点D的轨迹方程为x?y?22306?522,0?，满足x?y? ?6?56

2. 解（I）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?ax?122?(3?a)x?2ax?2?0 由?22?3x?y?1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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???4a2?8(3?a2)?0?2?3?a?0???x?x?2a a2?6且a2?3，

1223?a??2?x1?x2?2a?3?又以AB为直径的圆过原点.既x1?x2?y1?y2?0?(a2?1)x1?x2?a(x1?x2)?1?0 ?a??1 （II）?y1?y2x1?x2?a

????????y?y21OA?OB??(2,1)?(x1?x2,y1?y2)??(2,1)?1?

x1?x22????????2222OA?OB?x1?y1?x2?y2?(x1?x2)?(x1?x2)?(y1?y2)?(y1?y2)?0

?1?12?a?0?a??12

ba3.右准线l的方程为：x＝

a2c，两条渐近线方程为：y??

x．

∴ 两交点坐标为 P(a2c，

abc)、Q(a2c322，?abc)．

∵ △PFQ为等边三角形，则有|MF|?|PQ|（如图）．

∴ c?a2c?32?(abc?abc)，即

c?acca2?3abc．

解得 b?3a，c＝2a．∴ e??2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为把

xa22?y223a2?1．

把y?ax?3a代入得(a?3)x?23ax?6a?0．

2222??a?3?0,22 依题意 ? ∴ a?6，且a?3．

422???12a?24(a?3)a?0? ∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

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l?(x1?x2)?(y1?y2)42222?2(1?a)(x1?x2)22?(1?a)[x(?x2)?4x1x2] 122 ?(1?a)12a?24(a?1)a(a?3)22

∵ l?bca222?12a．

∴ 144a?(1?a)?272a?12a(a?3)2224．

整理得 13a4?77a2?102?0． ∴ a2?2或a?25113． x2 ∴ 双曲线C的方程为：

2?y26?1或

13x512?13y1532?1．

（文）（1）设B点的坐标为（0，y0），则C点坐标为（0，y0＋2）（-3≤y0≤1）， 则BC边的垂直平分线为y＝y0＋1 ① y?y02?3y0(x?32) ②

由①②消去y0，得y2?6x?8．

∵ ?3?y0?1，∴ ?2?y?y0?1?2．

故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y?6x?8(?2?y?2)． （2）将y?3x?b代入y?6x?8得9x?6(b?1)x?b?8?0． 由y?6x?8及?2?y?2，得 所以方程①在区间[22222243?x?2．

43，2]有两个实根．

2 设f(x)?9x?6(b?1)x?b?8，则方程③在[是：

43，2]上有两个不等实根的充要条件

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???[6(b?1)]2?4?9(b2?8)?0，??f(4)?9?(4)2?6(b?1)?4?b2?8?0，?333 ? 22?f(2)?9?2?6(b?1)?2?b?8?0，?4?6(b?1)?2．??2?9?3 之得?4?b??3． ∵ |x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?22[23(b?1)]?4?2b?892?23?2b?7

∴ 由弦长公式，得|EF|? 又原点到直线l的距离为d?1?k|x1?x2|?2310??2b?7

|b|102031b，

∴

|EF|d?203?2b?7b2?13?7b142?2b?203?7(1b?17)?217

∵ ?4?b??3，∴ ? ∴ 当

1b??14???EFd．

532，即b??4时，||max?2．

?1得

4. （1）设直线AB：y?k(x?1)?2代入x?y2 (2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?2?0 （＊） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 2?k2?0 且 x1?x2? ∵ ON?12(OA?OB)2k(2?k)2?k2

x1?x22?1

∴ N是AB的中点 ∴

∴ k(2?k)??k2?2 k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得x2?2x?3?0 x??1或x?3

由y?x?1得y1?0，y2?4 ∴ A(?1,0)，B(3,4)

∵ CD?AB?0 ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 y??(x?1)?2即y?3?x代入双曲线方程整理得x2?6x?11?0 令C(x3,y3)，D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0) 则x3?x4??6，x3?x4??11， ∴x0? |CD| =410，|MC|?|MD|?12x3?x42??3， y0?6

|CD|?210

|MA|?|MB|?210，即A、B、C、D到M距离相等 ∴ A、B、C、D四点共圆 12分

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