菁优网详解2012年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷(4)

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www.jyeoo.com 的边表示出来，代入sin∠A的表达式即可得出答案．

解答： 解：如图过点D作DE∥AC交BC于E，

由cos∠DCB=

=，

设CD=4x，则CE=5x，DE=3x，

∵点D是AB中点，DE∥AC， ∴AC=2DE=6x， 在RT△ACD中，AD=故可得sinA=

=

．

=2

x，

点评： 本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，要求掌握三角函数在直角三角形中的表示方法，难度一般．

20．（2009?孝感）如图，点P是双曲线y轴于A、B两点，交双曲线y=

（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、

（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= k2﹣k1 （用含k1、k2的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为（﹣4，3）． ①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记S2=S△PEF﹣S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题。 专题： 压轴题；动点型。

分析： （1）由反比例函数的图形和性质可知：四边形OAPB面积为K1，△OAE与△OBF面积之和为K2，可求四边

形PEOF的面积； （2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系． ②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S△EFQ=S△PEF，可得出S2的表达式，然后根据自变量的取值范围得出结果．

解答： 解：（1）四边形PEOF的面积S1=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k1|+k2=k2

﹣k1； （3分）

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www.jyeoo.com （2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．（4分） 证明：如图，由题意可得：

A（﹣4，0），B（0，3），∴PA=3，PE=∴

，PB=4，PF=，

， ，

，

∴，（6分）

又∵∠APB=∠EPF， ∴△APB∽△EPF， ∴∠PAB=∠PEF， ∴EF∥AB；（7分）

②S2没有最小值，理由如下： 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q， 由上知M（0，

），N（

，0），Q（

，

）（8分）

而S△EFQ=S△PEF， ∴S2=S△PEF﹣S△OEF=S△EFQ﹣S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN ===

，（10分）

当k2＞﹣6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12，（11分） ∵k2=12时S2=24， ∴0＜S2＜24，S2没有最小值．（12分） 故答案为：k2﹣k1

点评： 此题难度较大，主要考查了反比例函数、二次函数的图象性质及相似三角形判定．同学们要熟练掌握相似三

角形的判定方法．

21．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x﹣4ax+a+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．

考点： 二次函数的最值。 专题： 分类讨论。

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2

2

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www.jyeoo.com 分析： 先求出抛物线对称轴x=a，然后分①a≤﹣1，②﹣1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；

然后根据最小值为﹣1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．

解答：

解：对称轴x=﹣=﹣=a，

①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，

222

当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）﹣4a×（﹣1）+a+2a+2=a+6a+4， ②﹣1＜a＜2时，

222

当x=a时，有最小值，最小值y=2×a﹣4a×a+a+2a+2=﹣a+2a+2， ③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，

222

当x=2时，y最小，最小值y=2×2﹣4a×2+a+2a+2=a﹣4a+10，

2

综上所述，a≤﹣1时，最小值为a+6a+4，

2

﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a+2a+2，

2

a≥2时，最小值为a﹣4a+10； ∵最小值为﹣1，

∴a+6a+4=﹣1，整理得a+6a+5=0， 解得a1=﹣1，a2=﹣5， 22

﹣a+2a+2=﹣1，整理得，a﹣2a﹣3=0， 解得a3=﹣1，a4=3， 22

a﹣4a+10=﹣1，整理得，a﹣4a+11=0，

2△=4﹣4×1×11=﹣28＜0，方程无解，

综上所述，a的所有可能值为﹣1、3、5．

点评： 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求

解．

22．等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大． （1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？ （2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

2

2

考点： 直线与圆的位置关系；等腰直角三角形；切线长定理。 分析： （1）当△ABC第一次与圆相切时，应是AC与圆相切．如图，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，

连OE并延长，交B′C′′于F．设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理，以及直角三角形的性质可求得CD的值，进而求得CC′的值，从而求得点C运动的时间，也就有了点运动的时间，点B移动的距离也就可求得了． （2）△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，应为AB与圆相切，路程差为6，速度差为1，故从开始运动到最后一次相切的时间为6秒． （3）若圆能在△ABC的内部时，则存在；若圆O不能在三角形的内部，则不存在；即求在（2）条件下，AC与圆的位置关系即可．

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www.jyeoo.com 解答：

解：（1）设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长， 交B′C′于F． 设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l． 由切线长定理可知C’E=C′D，设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=x． ∴x+x=1， ∴x=﹣1， ∴CC’=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣． ∴点C运动的时间为（5﹣∴点B运动的距离为（2﹣

）÷（2+0.5）=2﹣）×2=4﹣

．

．

（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，是AB与圆相切，且圆在AB的左侧，故路程差为6，速度差为1， ∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．

（3）∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1， ∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A″B″C″处， A″B″=1+4×=3．

连接BO并延长交A″C″于点P，易证B″P⊥A″C″，且OP=

”

﹣=＜1．

∴此时⊙O与A″C″相交， ∴不存在．

点评： 本题考查了直线与圆的相切，相交的概念，利用了切线长定理，等腰直角三角形的性质，

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参与本试卷答题和审题的老师有：

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