1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔(5)

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BACHELOR ’S THESIS 列即为xnk.

固定m，当nk?m时，f?xk??Smxnk??0

令k??，由于f?x??Sm?x?的连续性.因此，f?x0??Sm?x0???0 这与?un?x0?收敛于f?x0?矛盾.故原命题成立.

n?1?????判别法13

d2f设函数项级数?un?x?定义在数集D上，若存在一个函数f?x?，2在

dxn?1?x?0处存在且f?0??f??0??0.

?1?且对一切x?D有un?x??f??,n?1,2,?

?n?则函数项级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1?d2f证明 对于函数f?x?，有在x?0处存在且f?0??f??0??0令2dx0?t?1，

f?x?f??x?1则 lim1?t?lim?x?0xx?0?1?t?xt1?tf???0??limx1?t?0 1?tx?0x?f??x??f??0?1?tlimx 0x?0?1?f??n即 lim?1??? 0tn???1???n?? 18

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BACHELOR ’S THESIS 又因为对级数?分???11fx?，有在?1,???是非负递减函数且非正常积??1?t1?txnn?1?1??11?1?dx是收敛的.故是收敛的，因而由比较原则知是收敛f????1?t1?tx?n?n?1nn?1?的则根据判别法2，函数级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1例11 讨论级数?cosnx在区间?0,1?上的收敛性. 2nn?1?分析 对于此级数我们可以用M判别法进行证明，即找到收敛的正项级数

?nn?1?12使得

cosnx1，同时也可以应用判别法13； ?22nn证明 考虑函数f?x??x2，f?x?在x?0处二阶导数存在且f?0??f??0??0，又有

sinnx?1??f?? n2?n?故级数在区间?0,1?上一致收敛. 例12 证明级数?xcosx在?1,???上一致收敛. 421?nxn?1?分析 对此级数我们考虑函数f?x??x2.

证明 对于函数f?x??x2，f?x?在x?0处有二阶导数且f?0??f??0??0，又有

xcosxxcosx1?1????f??

1?n4x2n2xn2?n?xcosx在?1,???上一致收敛. 42n?11?nx?故由判别法13可知级数? 19

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BACHELOR ’S THESIS 判别法14 (导数判别法)

设函数列?un(x)?在区间?a,b?上连续，可微，且存在一点x0??a,b?使得

'在点收敛；xuu(x)?n(x)在?a,b?上一致收敛；则函数项级数?a,b?上一?n0n?1n?1??致收敛.

证明 已知

?u(x)在点x??a,b?收敛，?un??'n0即(x)在?a,b?上一致收敛，

n?1n?1???0,?Ni(?),使得n?Ni(?)时对?p?N?,有

k?n?1n?p?u(x)??;对x??a,b?有

k0n?pk?n?1?u'k(x0)??

根据拉格朗日中值定理?n?N?,?p?N?,,x??a,b?有

k?n?1?u(x)??u(x)??ui0k0k?n?1k?n?1n?pn?pn?pn?pn?p'k(x)(x?x0)??(b?a) (?介于x与x0之

间）

于是

n?pk?n?1?u(x)??u(x)??u(x)??u(x)

k0kk0k0k?n?1k?n?1k?n?1n?pn?pkk0k0k?n?1n?pk?n?1n?pn?pn?p?k?n?1n?p?u(x)??u(x)??u(x) ?u(x)??u(x)??u(x)

kk0k0k?n?1k?n?1?k?n?1??(b?a)????(b?a?1）

故

?u(x)在?a,b?上一致收敛.

nn?1? 20

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BACHELOR ’S THESIS 判别法15 (比试式判别法)

定理1 设un(x)为定义在数集D上正的函数列，记qn(x)?un?1(x)，存在un(x)正整数q,M，使得：qn(x)?q?1,un(x)?M对任意n?N,,x?D成立，则函数项级数

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1?证明 易见

un(x)?un(x)un?1(x)uN?1(x)?...?uN(x)

un?1(x)un?2(x)u(x)=qn?1(x)?qn?2(x)???qN(x)?uN(x)?qn?N?1M

而等比级数

n?N?q?n从而由函数项级数一致?Mqn?N当公比?1?q?1时收敛，

?收敛型的优级判别法，

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1定理 设?un(x)?为定义在数集D上正的函数列，记qn(x)?un?1`(x)，若：un(x)lim(x)qn(x)?q(x)n??0?q?1，且un(x)在D上一致有界，则函数项级数

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1?判别法16 (根式判别法)

设un(x)为定义在数集D上的函数列，若存在在整数N使得

nun(x)?q(0?q?1)使得?n?N,x?D成立，则函数项级数?un(x)在Dn?1?上一致收敛.

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BACHELOR ’S THESIS 证明 由定理条件，un(x)?qn对?n?N，x?D成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数判别法17

?qn?u(x)在D上一致收敛.

nn?1? 设?un(x)?定义在D上的正函数列若limnun(x)?q(x0?1),则函数项

n??级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1?判别法18

设un(x)为定义在数集D上的函数列，若lim么：

（1） 若对p(x)?x?D,p(x)?p?1，则函数项级数在D上一致收敛.

（2） 若对p(x)?x?D,p(x)?p?1，则函数项级数在D上不一致收敛.

证明 由定理条件知，对???0,?N，使得对?n?N，有

?lnun(x)?p(x)存在，那

x??lnn?u(x)nn?1??u(x)nn?1?p(x)????lnun(x)11?p(x)??，即p(x)???un(x)?p(x)??，则当

lnnnn1. pnp(x)?p?1，对?x?D成立时，有un(x)?判别法19

若un?x??n?1,2,??是区间?a,b?上的连续函数，且函数列?un?x??在区间

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