1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔

编号

学士学位论文

函数项级数一致收敛的判别法

学生姓名： 艾斯凯尔· 海力麦提 学 号： 20050101041 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3班 指导教师： 托合提·赛都拉 完成日期： 2011 年 4 月 30 日

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BACHELOR ’S THESIS 摘要

函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关.

因此本论文中提出了函数级数?uk?x?一致收敛的柯西一致收敛准则，魏

k?1n尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了论文中所有结论的证明.

关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，聚点定理 .

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BACHELOR ’S THESIS 目 录

摘要 ............................................................................................................................ 1 引言 ............................................................................................................................ 1 1.函数项级数定义 .................................................................................................... 1 2.函数项级数一致收敛的几种判别法 .................................................................... 2

判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) ........................................................ 2 函数项级数一致收敛的几何意义 ..................................................................... 3 判别法2 (确界判别法) .................................................................................... 4 判别法3 (柯西一致收敛准则) ........................................................................ 5 判别法4 (M判别法) ......................................................................................... 7 判别法5 (狄利克雷判别法) ............................................................................ 9 判别法6 ............................................................................................................ 11 判别法7 ............................................................................................................ 12 判别法8 ............................................................................................................ 13 判别法9 ............................................................................................................ 14 判别法10 .......................................................................................................... 16 判别法11 .......................................................................................................... 16 判别法12 .......................................................................................................... 17 判别法13 .......................................................................................................... 18 判别法14 (导数判别法) ................................................................................ 20 判别法15 (比试式判别法) ............................................................................ 21 判别法16 (根式判别法) ................................................................................ 21 判别法17 .......................................................................................................... 22 判别法18 .......................................................................................................... 22 判别法19 .......................................................................................................... 22 判别法20 .......................................................................................................... 24 总结 .......................................................................................................................... 26 参考文献 .................................................................................................................. 27 致谢 .......................................................................................................................... 28

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BACHELOR ’S THESIS 引言

函数项级数一致收敛的条件下，可以讨论和函数连续性，可微性，可积性.函数项级数一致收敛时可以交换无穷和与导数,无穷和与积分的次序,通过交换不同的两种运算能够解决函数项级数概念中的最基本问题,即利用函数项级数的一致收敛性我们可以求出函数的和函数.因此,本论文中全面讨论函数项级数一致收敛的条件.

1.函数项级数定义

定义 设?un?x??是定义在数集E上的一个函数列表达式:

u1?x??u2?x??...?un?x??... x?E (1)

称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为?un(x)或?un(x).

n?1?Sn(x)??uk(x)称为函数项级数(1)的部分和函数列.

k?1n若x0?E函数项级数: u1?x0??u2?x0??...?un?x0??... (2) 收敛,即部分和Sn(x0)??uk(x0),当n??时,极限存在,则称级数(1)在点x0收敛,x0称为

k?1n收敛点.

级数(1)在D上的每一点x与其所对应的数项级数(2)的和S(x)构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即limSn(x)?S(x).

n??

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BACHELOR ’S THESIS 2.函数项级数一致收敛的几种判别法

判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) 设函数级数

?u?x?nn?1?在区间D收敛于和函数S?x?，若有: x??D????0,N??N,n??N?,S?x??Sn?x??Rn?x??? 则称函数级数?un?x?在区间D上一致

n?1收敛或一致收于和函数S?x?.

例1 证明函数项级数?xn在区间 ??1??,1???(其中0???1)一致收敛.

n?0?1?xn证明 ?x??0,1?有Sn(x)??x?.

1?xk?0nk?S(x)?limSn(x)?n??1. 1?xnx11?xnxn?S(x)?Sn(x)?Rn(x)????.

1?x1?x1?x1?x?对?x???1??,1???n,对???0要使不等式

x(1??)nS(x)?Sn(x)?Rn(x)????成立.

1?x?从而要不等式

(1??)n???解得n??ln???ln??.取N??.于是???0,?l …… 此处隐藏：2798字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……