1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔(4)

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BACHELOR ’S THESIS 再根据柯西一致收敛准则，函数级数?un?x?在I一致收敛.

n?1?例9 判断函数项级数?(?1)(1?x)xn在x??0,1?上的一致收敛性.

n?1?解

223nn?1n?1? ??(?1)(1?x)x??xk?xk?1??(x?x)?(x?x)?...?(x?x)?x?x??nk?1k?1nn?x??0,?1 ? S(x)?limSn(x)?x

n???limsupS(x)?Sn(x)?limxn?0 x??0,1?

n??x??0,1??n????(?1)(1?x)xn在区间?0,1?上一致收敛.

n?1所以由判别法7,函数项级数?(?1)(1?x)xn在?0,1?一致收敛.

n?1?判别法8

若函数项级数?un?x?在?a,b?一致收敛且??x?在?a,b?有界，则

n?1??u?x???x?在?a,b?一致收敛.

nn?1?证明 ?已知函数项级数?un?x?在?a,b?上一致收敛

n?1?由柯西收敛准则，???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x??a,b?，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

?函数??x?在?a,b?有界，即?M?0,?x??a,b?，有??x??M，对函数级

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BACHELOR ’S THESIS 数?un?x???x?，???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x??a,b?，有

n?1?un?1?x???x??un?2?x???x????un?p?x???x? ?un?1?x??un?2?x????un?p?x???x??M?

即函数级数?un?x???x?在?a,b?上一致收敛.

n?1?(?1)n?1x2例10 判断函数项级数?2在x??0,???上的一致收敛性. 2(n?x)n?1?解 令?(x)?(?1)n?1x2 un(x)?1.

(n2?x2)则对?(x)?(?1)n?1x2 任意x??0,??? ?M?x2?0.即?(x)?M?x2 故?(x)?(?1)n?1x2在x??0,???上一致有界. 对?1 x??0,??? 有: 22(n?x)n?1??111 数项级数在x??0,???上收敛. un(x)?2???222n?xnn?1n故函数项级数??1在x??0,???上一致收敛.根据判别法8,函数项级22(n?x)n?1?(?1)n?1x2数?2在x??0,???上一致收敛. 2(n?x)n?1判别法9 若函数项级数

?u?x?nn?1?、

???x?nn?1?都在区间I一致收敛，则

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BACHELOR ’S THESIS ???au?x??b??x???在I一致收敛（a、b为常数）.

nnn?1?证明 由已知级数?un?x?与??n?x?在区间I都一致收敛.由柯西一致收

n?1n?1??敛准则.对???0,?N1?N?,?n?N1,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

同样的 对???0,?N2?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???

取N?max?N1,N2?，???0,?N?N?,?n?N2,?p?N?,?x?I，有

un?1?x??un?2?x????un?p?x??? ?aun?1?x??aun?2?x????aun?p?x?

?aun?1?x??un?2?x????un?p?x??a? (1)

?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???

?b?n?1?x??b?n?2?x????b?n?p?x?

?b?n?1?x???n?2?x?????n?p?x??b? (2)

由(1)和(2)相加得:

?au?x??b??x????au?x??b??x??????au?x??b??x??

n?1n?1n?2n?2n?pn?p?aun?1?x??un?2?x????un?p?x?

?b?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???a?b??

即函数级数???aun?x??b?n?x???在I上一致收敛.

n?1? 15

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BACHELOR ’S THESIS 判别法10

若函数?an与?bn都绝对收敛，则函数级数??ancosnx?bnsinnx?在Rn?1n?1n?1???一致收敛.

证明 ??an?1?n与?bn收敛.

n?1????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,，有:

an?1?an?2???an?p?? bn?1?bn?2???bn?p??

???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?R，有:

an?1cos?n?1?x?bn?1sin?n?1?x???an?pcos?n?p?x?bn?psin?n?p?x

?an?1?cos?n?1?x?bn?1?sin?n?1?x ???an?p?cos?n?p?x?bn?p?sin?n?p?x

?an?1???an?p?bn?1???bn?p?2?

????由柯西一致收敛准则，函数级数??ancosnx?bnsinnx?在R上一致收敛.

n?1?判别法11

若?n?N?，函数un?x?在?a,b?单调且?un?a?与?un?b?都绝对收敛，则

n?1n?1???u?x?在?a,b?一致收敛.

nn?1?证明 不妨设un?x?在?a,b?单调增，所以un?a??un?x??un?b?,x??a,b?，

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BACHELOR ’S THESIS 于是有 0?un?x??un?a??un?b??un?a?,n?N，而?un?a?与?un?b?收敛.

?n?1n?1??可知???un?b??un?a???收敛

n?1?根据M判别法，???un?b??un?a???在?a,b?上一致收敛.

n?1?最后得?un?x?在?a,b?上一致收敛.

n?1?同法可证：若un?x?在?a,b?单调减少，即un(a)?un(b).则任意x??a,b?有

un(a)?un(b)?un(x)?un(b)?0,因为?un?a?与?un?b?都收敛.

n?1n?1??所以

????u?a??u?b???也一致收敛,根据Mnnn?1?判别法可知函数项级数

?u?x?在?a,b?也一致收敛.

nn?1判别法12

设un?x??0，在?a,b?上连续，n?1,2,?，又?un?x?在?a,b?上收敛于连

n?1?续函数f?x?，则?un?x?在?a,b?上一致收敛于f?x?.

n?1?证 (用反证法) 若?un?x?在?a,b?上不一致收敛于f?x?，Sn?x?为级数部

n?1??n?分和，则??0?0，及n1?n2?n3??k?和xnk??a,b?使得fxnk?Snkxnk??0.

????对xnk??a,b?，应用聚点定理，?xnk得子列收敛于x0??a,b?不妨设此子

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