1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔(3)

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BACHELOR ’S THESIS 证明 正项级数

?an?1?n收敛根据柯西一致收敛准则，即

???0,N??N?,n? ?N?,p?N?，有 an?1?an?2??an?p??

由已知条件，?x?I，有

un?1?x??un?2?x????un?p?x? ?un?1?x??un?2?x????un?p?x?

?an?1?an?2???an?p??

即函数级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1?xn例5 判断函数项级数?在x???r,r?上是否一致收敛.

n?1(n?1)!?xnrn解 ??x???r,r?,有. ?(n?1)!(n?1)!an?1rnrn?1(n?1)!r令an?,则lim?lim?n?lim?0.

n??an??n!n??n(n?1)!rn?rnxn所以?是收敛.由M判别法函数项级数?在x???r,r?上一

(n?1)!n?1(n?1)!致收敛.

例6 证明?x在R一致收敛. 42n?11?nx24222?x?0所以2n2x?1?n4x2，即证：??x?R，有1?2nx?nx??1?n??2n2x12n2x11?1??1.故已知优级级数收敛，根据??????424242221?nx1?nx1?nx2n2nn?1?2n?2M判别法.

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BACHELOR ’S THESIS 函数级数?x在R中一致收敛. 421?nxn?1?注 M判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用M判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用M判别法.

判别法5 (狄利克雷判别法)

若级数?an?x?bn?x?满足如下条件：

n?1?(1)函数列?an?x??对每个x?I是单调的且在区间I一致收敛于0.

(2)函数级数?bn?x?的部分和函数列?Bn?x??在区间I一致有界，则函数级

n?1?数?an?x?bn?x?在I一致收敛.

n?1?证明 已知函数列?an?x??一致收敛于0即???0,?N?N?，?n?N，

?x?I有an?1??.

又已知函数级数?bn?x?的部分和函数列?Bn?x??在区间I一致有界。

n?1?即?M?0,?n?N?,?x?I，有Bn?x??M，从而有

bn?1(x)?bn?2(x)?...?bn?p(x)?Bn?1?x??Bn?x??Bn?p?x??Bn?x??2M

根据阿贝尔变换，?x?I有

an?1?x?bn?1?x??an?2?x?bn?2?x??L?an?p?x?bn?p?x??2Man?1?x?

于是 ???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有

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BACHELOR ’S THESIS an?1?x?bn?1?x??an?2?x?bn?2?x??L?an?p?x?bn?p?x??2M?

即函数级数?an?x?bn?x?在区间I一致收敛.

n?1?例7 证明 函数级数?cosnx在区间??,2?????0?????一致收敛. nn?1?证 ?x???,2????,?n?N?

Q?coskx?k?1n12sinx2?2coskxsink?1nx 2???1??1??sink?x?sin?k???x? ??x?22????2sink?1??2315311?? (sinx?sinx)?(sinx?sin)?...(sin(n?)x?sin(?n)x?x?222222?2sin?2sin11??x?sin?n??x1122?????M

1x12sinsinxsin?222?1n?1??1?即函数级数?cosnx的部分和函数列在??,2????一致有界，而数列??单

?n?n?1调减少趋近于0。(当然在??,2????也是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数?sinnx在区间??,2????一致收敛. nn?1? 10

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BACHELOR ’S THESIS 判别法6

若级数?an?x?bn?x?满足下面两个条件：

n?1?(1)函数列?an?x??对每个x?I是单调的且在区间I一致有界.

(2)函数项级数?bn?x?在区间I一致收敛，则函数级数?an?x?bn?x?在区

n?1n?1??间I一致收敛.

证明 不妨设函数列?an?x??在区间I单调减少，已知它在区间I一致有界，即?M?0,?n?N?,?x?I，有an?x??M，有

M?a1?x??a2?x??L?an?x??L??M 从而?x?I，有

a1?x??M?a2?x??M?L?an?x??M?L?0 又已知函数级数?bn?x?在区间I一致收敛.

n?1?即 ???0,?N?N?,?n?N,?x?I，有

bn?1?x??bn?2?x??L?bn?p?x???

由阿贝尔变换，有

??an?1?x??M??bn?1?x????an?2?x??M??bn?2?x??L???an?p?x??M??bn?p?x? ???an?1?x??M????2M?

即函数项级数 ?0,r?在区间I一致收敛.

已知函数项级数?Mbn?x?在区间I一致收敛两个函数级数在区间都一致

n?1?收敛.

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BACHELOR ’S THESIS 因此，函数级数?an?x?bn?x?????an?x?bn?x??Mbn?x??Mbn?x???

n?1n?1??=???an?x??M??bn?x???Mbn?x?

n?1n?1??在区间I一致收敛.

例8 证明若函数级数?anxn（an是常数）.

n?1?在x?r(?0)收敛.则它在区间?0,r?一致收敛. 证明 将函数项级数?n?0??x?anx改写为?anx??anr??

?r?n?0n?0n?n?nn已知级数?n?0?r???x???从而它在区间?0,r?也是一致收敛.且函数列????anr收敛，

??r????n?x?在?0,r?单调减少又一致有界,即存在M?1，?x??0,r?，?x??0,r?有???1 根

?r?据阿贝尔判别法，函数项级数?anxn在区间?0,r?一致收敛.

n?0?n判别法7

?

?若函数项级数?un?x?在区间I一致收敛，则?un?x?在I也一致收敛.

n?1n?1证明 已知?un?x?在I一致收敛，由柯西一致收敛准则

n?1????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

于是 un?1?x??un?2?x????un?p?x??un?1?x??un?2?x????un?p?x???

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