1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔(2)

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BACHELOR ’S THESIS 所以函数项级数?xn在区间??1??,1???(其中0???1)一致收敛.

n?0?非一致收敛的定义 设函数项级数

?u?x?在区间I非一致收敛于和函数S?x?，若??nn?1?o?0，

?N?N?,?n0?N,?xo?I有：S(x0)?Sn(x0)??0成立.

则称函数项级数

?u?x?在区间I上非一致收敛或非一致收敛于S?x?.

nn?1?n?0?例2 证明函数项级数?xn在区间 ??1,1?非一致收敛. 证明 ??0?1，?N?N?，?x0?1?1???1,1?有： n0(1?S(x0)?Sn(x0)?Rn(x)?1n0)n01?n0(1?)n0?1 1n0n0??1n11n0??)?所以?n0?N，使n0(1?)?1?. ??lim(1n??n0en0??即函数项级数?xn在??1,1?非一致收敛.

n?0?

函数项级数一致收敛的几何意义 函数项级数

??u?x?在区间I一致收敛于S?x?的几何意义是,不论给定的

nn?1以曲线S?x???与S?x???为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数N(通用的

N),?n?N,任意一个部分和Sn(x)的图像都位于这个带形区间内(如图1).

3

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BACHELOR ’S THESIS 若函数项级数在某个区间不存在通用的N,就是非一致收敛.

yS(x)+εS(x)Sn(x)S(x)-εO

判别法2 (确界判别法) 函数项级数

I图（1）x

?u?x?在数集D上一致收敛于S?x?的充要条件：

nn?1n??x?D?limsupRn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0.

n??x?D证明 (?) 已知函数项级数

?u?x?在区间D一致收敛于S?x?.

nn?1?即???0,?N?N?,?n?N,?x?D有: S?x??Sn?x???.

S(x)?Sn(x)?0. 从而supS?x??Sn?x???,即limsupn??x?Dx?DsupSx()?Snx()?0(?)已知lim,即???0,?N?N?,?n?N,?x?Dn??x?D有supS?x??Sn?x???.

x?D 4

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BACHELOR ’S THESIS 从而?x?D有S?x??Sn?x???.即函数项级数?un?x?在区间D

n?1?上一致收敛于S?x?.

例3 证明 函数项级数

n1在?0,???内一致收敛. ?n?1?x?n??x?n?1??n1?1?1证明 Sn?x????????

x?k?1?k?1?x?kk?1?x?k??x?k?1?1??11?1??11??1?1??????...????????????x?1x?2??x?2x?3??x?n?1x?n??x?nx?n?1? ?11; x??0,???. ?x?1x?n?1?S?x??limSn?x??limn??n??111. ??x?1x?n?1x?11?0.

x?n?1x?D?limsupS(x)?Sn(x)?limsupn??x?Dn??所以函数级数

1在?0,???内一致收敛. ?n?1?x?n??x?n?1??判别法3 (柯西一致收敛准则) 函数级数

?u?x?在区间I一致收敛

nn?1?????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I有： un?1?x??un?2?x??...?un?p?x???.

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BACHELOR ’S THESIS 证明 必要性???已知函数级数

?u?x?在区间I一致收敛.

nn?1?设其和函数是S?x?，即???0,?N?N?n??,S?x??Sn?x???也有S?x??Sn?p?x???.于是

un?1?x??un?2?x????un?p(x)?Sn?p?x??Sn?x? ?Sn?p?x??S?x??S?x??Sn?x?

?S?x??Sn?p?x??S?x??Sn?x??????2?.

N?,?p?N?,?x有I充分性???：已知???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x??L?un?p(x)?Sn?p?x??Sn?x???

所以当P???时上述不等式有:

S?x??Sn?x??Rn?x???

即函数项级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1??xnxn?1?例4 讨论函数项级数????在区间??1,1?的一致收敛性.

n?1?n?1?n?解 应用柯西一致收敛准则

Q?x???1,1?即x?1,???0，要使不等式

?xn?1xn?2??xn?2xn?3?Sn?p?x??Sn?x?????????

?n?1n?2??n?2n?3??xn?pxn?p?1??L????

?n?pn?p?1?xxxn?1xn?p?1???? n?1n?2n?1n?2

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n?1n?p?1 学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS ?112???? n?1n?p?1n?1成立，从不等式

?2??N???1?,???22?2???解得n??1取N???1?于是n?1???????0, ?n?N,?p?N?,?x???1,1?，有

?Sn????p?x?xnxn?1?S?n??x，即函数级数????一致收?在区间??1,1nn?1n?1??敛.

在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性

xkxk?1?x2x2x3xnxn?1?方法2 Sn(x)??(?)??(x?)?(?)?...?(?)?

kk?1223nn?1k?1??nxn?1?x?.

n?1 ?limSn(x)?S(x)?x

n??xn?11故limsupS(x)?Sn(x)?limsup?lim?0. n??x???1,1?n??x???1,1?n?1n??n?1?xnxn?1?所以函数级数????在区间??1,1?一致收敛.

n?1?n?1?n?判别法4 (M判别法)

有函数项级数?un?x?，I是区间，若存在收敛的正项级数?an,?n?N?,

n?1n?1???x?I，有un?x??an，则函数级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1? 7