湖南省郴州市2016年中考数学试卷（解析版）(5)

【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．

【分析】（1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．

（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵CO平分∠AOD， ∴∠AOC=∠COD， 在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△DOC， ∴∠ODC=∠OAC=90°， ∴OD⊥CD，

∴直线CD是⊙O的切线． （2）∵OD⊥BC，DC=DB， ∴OC=OB，

∴∠OCD=∠B=∠ACO， ∵∠B+∠ACB=90°， ∴∠B=30°，∠DOE=60°， ∴

的长=

=π．

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【点评】本题考查切线的判定和性质、弧长公式、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，属于中考常考题型；解题的关键是发现全等三角形，证明∠B=30°．

24．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b=

，

例如：1⊕（﹣3）==﹣3，（﹣3）⊕2=（﹣3）﹣2=﹣5，

（x2+1）⊕（x﹣1）=（因为x2+1＞0）

参照上面材料，解答下列问题：

（1）2⊕4= 2 ，（﹣2）⊕4= ﹣6 ；

（2）若x＞，且满足（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），求x的值． 【考点】实数的运算；解分式方程；解一元一次不等式． 【专题】新定义．

【分析】（1）按照运算的规定直接列式计算即可； （2）按照运算的规定列方程，解出方程即可． 【解答】解：（1）2⊕4==2， （﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6； （2）∵x＞，

∴（2x﹣1）⊕（4x2﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x）， 即

=﹣4﹣（1﹣4x），

=4x﹣5，

4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），

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4x2﹣1=4x2﹣14x+5， 2x﹣7x+3=0，

（2x﹣1）（x﹣3）=0， 解得x1=，x2=3．

经检验，x1=是增根，x2=3是原方程的解， 故x的值是3． 故答案为：2，﹣6．

【点评】此题考查有理数的混合运算和解分式方程，注意新运算的计算方法．

25．如图1，抛物线y=﹣x+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E． （1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

2

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【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可； （2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则CF=a，PF=﹣a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；

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（3）连接EC．设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．然后依据S△

PBC

=S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．

，

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：解得：b=3，c=4．

抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4． （2）如图1所示：

∵令x=0得y=4， ∴OC=4． ∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似． 设点P的坐标为（a，﹣a+3a+4）（a＞0）． 则CF=a，PF=|﹣a+3a+4﹣4|=|a﹣3a|． ∴|a2﹣3a|=a． 解得：a=2，a=4．

∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）． （3）如图2所示：连接EC．

2

2

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设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

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∵S四边形PCEB=OB?PE=×4（﹣a+3a+4），S△CEB=EB?OC=×4×（4﹣a）， ∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a+8a． ∵a=﹣2＜0，

∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值． ∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．

26．如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm2，当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为 0≤t≤3.5 ，AE= 1 cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若a=cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

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【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据列出与时间的关系可以确定t的范围，根据t=1时，△APE面积为1，即可求出AE．

（2）只要证明∠MAD=∠MFD=30°即可解决问题．

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