二元二次方程约束条件下的最值1

一模试题分析之一

二元二次方程约束条件下的最值 -------一道模考题的思考

湖州市2015年一模文科试卷中有下面一道试题：

已知x，y为实数，且?x?y??x?2y??1，则2x?y的最小值为 ． 221.试题分析诊断 此题形式优美，入口平宽，解法众多，是一道不可多得的好题. 2.典型解法呈现

解法1（构造一元二次方程）

设2x2?y2?t?0,则2x?y?t?t?x?y???x?2y?,化简整理，

2222得?t?2?x?txy??2t?1?y?0. 当y?0时，x2?1,此时t?2；

2?x??x?x5当y?0时，?t?2????t????2t?1??0.当t?2时，??；

y2?y??y?当t?2时，关于

x2的一元二次方程有实数根，故??t?4?t?2??2t?1??0， y即9t?12t?4?0，,解得t?22?232?232?23,或t?,由于t?0，故t?. 3332?23. 3综上所述，2x?y的最小值为解法2（等比换元法）

22设x?y?t，则2x?y?，解得x?21t1?1?1?1?2t?,y?2t?????， 3?t?3?t?22?1?1?1?1?1?22?23故2x?y??2t????2t????2t2?2???. 9?t?9?t?3?t?9322解法3（均值不等式法）

?x?y??x?x?2y??x?y?x2x2?y22x?y??

x?2yx?y?x?y??x?2y??x?y??x?2y?222?x?y3x?2?x?y?2x?yx?2y22?23. ??????x?2y3(x?y)3x?2y3(x?y)333.解法小结拓展

① 形如Ax2?By2?Cx?Dy?Exy?F?0,(A,B,C,D,E,F为非零常数).

求Gx?Hy(G,H为非零常数)或Ixy(I为非零常数)或JJx2?Ky2（J,K为非零常数）的取值范围时，一般令Gx?Hy?t或（Ixy?t），然后转化成x（或y）的二次（或双二次）方程，通过判别式以及韦达定理来处理，再求出t的取值范围.

例①已知实数x,y满足关系式xy?x?y?1，则x2?y2的最小值为（ ）. A. 3?22 B. 6?42 C. 1 D. 6?42 ②已知实数x,y满足关系式x?xy?y?1，则(x?y)2的最大值为（ ）. A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 ③若正数a,b满足ab?1，求M?2211?的最小值. 1?a1?2b经过笔者仔细研究，发现均可通过解法1，构造一元二次方程的方法来统一求解. ①解：由于x2?y2?(x?y)2?2xy?(x?y)2?2(x?y)?2，故只需研究x?y的取值范围.即可令x?y?t，则y?t?x，代入xy?x?y?1，得x(t?x)?x?(t?x)?1，整理得关于x的方程x?tx?t?1?0，故??t2?4(t?1)?0，解得t?2?22或

2t?2?22（等号当且仅当x?y?t222时取得），所以x?y?(x?y)?2(x?y)?2= 2(t?1)2?3，结合图像可得：当x?1?2，y?1?2；或x?1?2，y?1?2时，x2?y2取到最小值6?42.

评注:由x?y?(x?y)?2xy?(xy?1)?2xy?(xy)?4xy?1，故也可以研究xy的取值范围，再研究x?y的取值范围，过程大体一致，同学们不妨一试.

②解：由于(x?y)?x?y?2xy?3(1?xy)，故只需研究xy的取值范围即可.令

2222222222xy?t，当x?0时，代入y2?3，此时，(x?y)2?3；当x?0时，y?t，代入xx2?xy?y2?3，整理得关于x的双二次方程x4?(t?3)x2?t2?0.设此方程的两根分

2别为?,?，则??(t?3)2?4t2?0，解得?3?t?1，又x?0且???t2?0，故

?????(t?3)?0，即t?3，综上可得?3?t?1.由(x?y)2?3(1?xy)?3(1?t)，

得0?(x?y)2?12，当且仅当x?y??1时，(x?y)2取得最小值0；当且仅当x?3，

y??3；或x??3，y?3时，(x?y)2取得最大值12.

ababba1aa2?2a?2M???????③解：由ab?1得，，

ab?aab?2bb?1a?2a?1a?2a2?3a?2整理得关于a的方程(M?1)a2?(3M?2)a?2(M?1)?0（a??1且a??2）.当

M?1时，a?0，不合题意，舍去；当M?1时，(M?1)a2?(3M?2)a?2(M?1)?0为一元二次方程，设此方程的两根分别为?,?，故??(3M?2)2?8(M?1)2?0，即

M2?4M?4?0，解得M??2?22或M??2?22（等号当且仅当a??时取得），又?????3M?22(M?1)3M?22?0,???2?0，解得?M?1.综上所述，

M?13?2?22?M?1,故当且仅当a?2，b?5.实战训练检验

2时，M取得最小值为22?2. 222例1已知正实数x,y满足关系式2x?2y?2xy?x?y?1，求x?y的取值范围. 22解：令x?y?t?0，则y?t?x，代入2x?2y?2xy?x?y?1，整理得关于x的一

元二次方程2x?5tx?2t?t?1?0，设此方程的两根分别为?,?，则

222t2?t?1?0，解得1?t?2??(?5t)?20(2t?t?1)?0，且????t?0,???522（其中等号当且仅当x?y?1时取得）.

A1x2?B1x?C1x② 形如y?(A1A2?0),求y的取值范围时，一般通过去分母，整理成2A2x?B2x?C2x关于x的一元二次方程.当x为任何常数时，通过判别式??0，就可以求出y的取值范围；当x受到限制时，将问题转化成给定范围内有解来处理.

x2?x例2求函数y?2中y的取值范围.

x?x?12解：注意到x?x?1=(x?123)??0，故x为任意实数，变形整理得：24方程(y?1)x2?(1?y)x?y?0无解，不合题意，(y?1)x2?(1?y)x?y?0.当y?1时，

舍去； 当y?1时，关于x的一元二次方程(y?1)x2?(1?y)x?y?0有实数根， 即??(1?y)2?4y(y?1)?0，解得?1?y?1.综上所述, y的取值范围是 3?11?y?1.(等号当且仅当x?时取得).

236.解法巩固练习

回归上面解法要领，尝试完成下面问题：

① 已知实数x,y满足关系式x?2y?xy?6?0，求2x?y的取值范围； ② 已知实数x,y满足关系式x?y?xy?2，求xy的取值范围；

222x2?x?2③ 求函数y?2中y的取值范围.

x?x?1参考答案：①2x?y?3,或2x?y??13；②

2?xy?2；③1?y?5. 3