奥数：初中奥数系列： 锐角三角函数A级 第02讲 学生版

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解直角三角形

中考要求

内容 基本要求 略高要求 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 较高要求 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 课前预习

三角学问题的提出

三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识．一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的．当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置，研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学，他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形．因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的．在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的．角度越大，星球距地面就越高．然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题——制造弦表．所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表，AC的长度与?ABC的大小之间的对应关系．

例题精讲

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模块一解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

A

c（1）三边之间的关系：a2?b2?c2 (勾股定理) （2）锐角之间的关系：?A??B?90?

aba（3）边角之间的关系：sinA?cosB?,cosA?sinB?,tanA?

ccbbCaB三、解直角三角形的四种基本类型

isA?（1）已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由na求出?A，则?B?90???A，b?c2?a2； c（2）已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出?B?90???A，a?csinA，b?ccosA； （3）已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出?B?90???A，b?atanB，c?（4）已知两直角边(如a和b)，求出c?a2?b2，由tanA?具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinA?四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点

在Rt?ABC中，?A??B?90?，故sinA?cos(90??A)?cosB，cosA?sinB．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；

（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．

a； sinAa，得?B?90???A． baa可写成a?csinA，c?等． csinA奥数精品

?A?30?，AB?10，则AC的长度为（） 【例1】 在三角形ABC中，?C?90?，A．103 B．53 C．102 D．52 【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知Rt?ABC中，?C?90?，?A?60?，b?4．

【巩固】根据下列条件不能解直角三角形的是（）

①已知一直角边及其所对锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角； ⑤已知一直角边和一斜边．

A．② B．①③ C．①④ D．②⑤

【例2】 根据下列条件解直角三角形：已知Rt?ABC中，?C?90?，?A?60?，a?b?6．

【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知Rt?ABC中，?C?90?，?A?45?，S??12．

1BC?1，如果tan?BCD?，求CD的长度 【例3】 如图，在Rt?ABC中，已知CD?AB，3A

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