黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学测试卷理科(2)

为

（结果用数字作答）．70

10．在△ABC中，若cos(A?2C?B)?sin(B?C?A)?2，且AB?2，则BC? ．22 11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么

2 512．已知k?Z，若曲线x2?y2?k2与曲线xy?k无交点，则k? ．?1

13．已知点M(m,0)（m?0）和抛物线C：y2?4x，过C的焦点F的直线与C交于A、

?????????????????11B两点，若AF?2FB，且|MF|?|MA|，则m? ．

2?????????????????abca?2b?3c?0ab??bc??c?ab14．若非零向量，，满足，且，则与c的夹角为 ．

4选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z，“z?z?0”是“z为纯虚数”的 [答] ( B )． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知x?R，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．

11 ?xx2311C．2 ?2x?1x?2A．

b满足的条件分别为 [答] ( A )．

11 ?22x?x?1x?x?111?2D． 2|x|x?1B．

17．已知P为直线y?kx?b上一动点，若点P与原点均在直线x?y?2?0的同侧，则k、

A．k?1，b?2 C．k?1，b?2

B．k?1，b?2 D．k?1，b?2

18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零．若线段l1，l2，l3，

l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则 [答] ( C )．

A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以l1，l2，l3为三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号

规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

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已知三棱柱ABC?A?B?C?的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA?的长为10．

（1）若侧棱AA?垂直于底面，求该三棱柱的表面积．

（2）若侧棱AA?与底面所成的角为60?，求该三棱柱的体积．

[解]（1）因为侧棱AA??底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA?的长， 而底面三角形ABC的面积S?A?C?B?1AC?BC?6，（2分） 2CHAB周长c?4?3?5?12，（4分）

于是三棱柱的表面积S全?ch?2S?ABC?132．（6分）

（2）如图，过A?作平面ABC的垂线，垂足为H，A?H为三棱柱的高．（8分）

因为侧棱AA?与底面所成的角为60?，所以?A?AH?60?，可计算得

??AA?H?Asin?6?053．（9分） 又底面三角形ABC的面积S?6，故三棱柱的体积V?S?A?H?6?53?303．（12分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边、OA为终边的角设为?，将OA绕坐标原点逆时针旋

yBAO?转至OB． 2 （1）用?表示A、B两点的坐标；

（2）M为x轴上异于O的点，若MA?MB，求点M横坐标的取值范围．

[解]（1）由题设，A点坐标为(cos?,sin?)，（2分）

1x?（k?Z）．（3分） 2?????????因为?AOB?，所以B点坐标为?cos????,sin?????，即(?sin?,cos?)．（5分）

2?2??2???????????（2）设M(m,0)（m?0），于是MA?(cos??m,sin?)，MB?(?sin??m,cos?)，

????????因为MA?MB，所以MA?MB?0，即(cos??m)(?sin??m)?sin?cos??0，（8分）

其中2k????2k?????整理得m2?m(cos??sin?)?0，由m?0，得m?cos??sin??2cos????，（10分）

4????????，且??2k??，于是2k??????2k??，且244442??2???????cos?????，且cos?????0． ???2k??（k?Z）得?4?24?242??因此，点M横坐标的取值范围为(?1,0)?(0,1)．（12分）

此时2k????2k??

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E、

CFBE7

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OA F分别在AB、BC边上．OA?5米，OC?4米，?EOF? （1）试用解析式将y表示成x的函数；

?，设CF?x，AE?y． 4 （2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．

yx，直角三角形COF中，tan?COF?． 54??正方形OABC中，由?EOF?，得?AOE??COF?，于是tan(?AOE??COF)?1，

445(4?x)代入并整理得y?．（4分）

4?x5(4?x)4因为0≤x≤5，0≤y≤4，所以0≤≤4，从而≤x≤4．（6分）

4?x95(4?x)4因此，y? （≤x≤4）．

4?x911（2）S?SOABC?(S?OAE?S?OCF?S?EBF)?5?4?[5y?4x?(4?y)(5?x)]?(20?xy)，（8

22[解]（1）直角三角形AOE中，tan?AOE?分）

5(x2?16)5?325(4?x)???(x?4)??8?，（10分） 将y?代入上式，得S?2(x?4)2?x?4?4?x432当≤x≤4时，x?4? ≥82，当且仅当x?4(2?1)时，上式等号成立．（12分）9x?4因此，三角形池塘OEF面积的最小值为20(2?1)平方米，此时x?4(2?1)米．（14分）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分．

x2y2 已知椭圆?：2?2?1（a?b?0），过原点的两条直线l1和l2分别与?交于点A、

abB和C、D，得到平行四边形ACBD．

（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．

（2）若直线l1和l2关于y轴对称，?上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当

2为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值． d12?d2 （3）当ACBD为菱形，且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式． [解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为y?x和y??x．（1分）

?y?x,?点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解，

??1?2b2?aa2b222将y?x代入椭圆方程，解得x1?x2?2．

a?b2______________________________________________________________ 8 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家

4ab．（4分）

a2?b2（2）由题设，不妨设直线l1的方程为y?kx（k?0），于是直线l2的方程为y??kx．

根据对称性，可得正方形ACBD的面积S?4x12?22x0y0|kx0?y0||kx0?y0|设P(x0,y0)，于是有2?2?1，又d1?，d2?，（6分）

22abk?1k?122222?(kx0?y0)2(kx0?y0)22k2x0?2y0x022?d?d???，将代入上式， y?b1??02?k2?1k2?1k2?1a??21222?x02kx?2b?1?2?a2?得d12?d2k2?12202?2b2?22?k?2?x0?2b2a??，（8分） k2?1b2b2对于任意x0?[?a,a]，上式为定值，必有k?2?0，即k??，（9分）

aa2a2b2bb22因此，直线l1和l2的斜率分别为和?，此时d1?d2?2．（10分） 2a?baa22（3）设AC与圆x?y?1相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0x?y0y?1．

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