二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

0)，C(0，?3)， 2、（09青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y??3x与BC边相交于D点． 42（1）求点D的坐标； （2）若抛物线y?ax?9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形

y 与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

1

O ?3 C A 6 D B y??3x4x 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝

过点C的直线y＝且0＜t＜1．

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x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 4t（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝ _，c＝_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；

若不存在，说明理由．

4、（09福建莆田）已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?C yQHPAOBx12x上的两点A、B的横坐标4分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF． （1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF?DF； （3）点P是抛物线y?12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得4△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

5、（09山东临沂）如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，?2)三点．

（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

6、（09牡丹江）如图，

ABCD在平面直角坐标系中，AD?6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程

x2?7x?12?0的两个根，且OA?OB．

（1）求sin?ABC的值． （2）若E为x轴上的点，且S△AOE?断△AOE与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

3

16，求经过D、E两点的直线的解析式，并判3y A D B

O C x 答案

1、（09贵州安顺）

解：（1） ∵抛物线与y轴交于点（0，3），

?a?b?3?0?a??1∴设抛物线解析式为y?ax?bx?3(a?0) (1′) 根据题意，得?，解得?

b?29a?3b?3?0??2∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3 (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE =

111111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF=?1?3?(3?4)?1??2?4=9 222222

（3）相似

如图，BD=BG2?DG2?12?12?2；∴BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 ∴BD?BE?20, DE?20 即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形 ∴?AOB??DBE?90?,且

222222AOBO2, ∴?AOB∽?DBE ??BDBE2329x?x． 84y ?3)．2、（09青海）解：（1）点D的坐标为(4，（2）抛物线的表达式为y?（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件． ∵OA∥CB， ∴?POM??CDO． 1∵?OPM??DCO?90°， ∴Rt△POM∽Rt△CDO． 11∵抛物线的对称轴x?3， ∴点P1的坐标为P，0)． 1(3过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2． ∵对称轴平行于y轴， ∴?P2MO??DOC．

∵?POM??DCO?90°， ∴Rt△P22M1O∽Rt△DOC

O P2 P1 M A 6 B y??3 x4x ?3 C D ∴点P?CO?3，?P2PO??DCO?90°， 2也符合条件，?OP2M??ODC． ∴PO11∴Rt△P2PO1≌Rt△DCO． ∴PP12?CD?4．

，4)， ∵点P2在第一象限，∴点P2的坐标为P2(34) ∴符合条件的点P有两个，分别是P，0)，P2(3，1(3

4

3、（09广西钦州） 解：（1）（0，－3），b＝－（2）由（1），得y＝

9，c＝－3． 4329x－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）． 44yQ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得△BHP∽△BOC，

∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5 ， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5 ， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由y＝

HPAOBx3x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）． ∴OQ＝4t． 4tC①当H在Q、B之间时， QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t． ②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4． 综合①，②得QH＝｜4－8t｜；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． ①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t， 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得∴t＝

4?8t3t＝， 34t7． 323t4?8t＝， 34t若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得

2

即t＋2t－1＝0．∴t1＝2－1，t2＝－2－1（舍去）．

②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ， 得得

258t?43t＝，∴t＝．若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，

3234t7253t8t?42

＝，即t－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）．综上所述，存在t的值，t1＝2－1，t2＝，t3＝．

323234t4、（09福建莆田）（1）解:方法一，如图1，当x??1时,y?

11?? ；当x?4时,y?4 ∴A??1，? B?4，4? 44??13????k?b??k?设直线AB的解析式为y?kx?b则?4 解得?4

???4k?b?4?b?1∴直线AB的解析式为y?3x?1 ，当x?0时,y?1 ?F?01，? 4方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作FG?BD,AH?BD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO?x

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