2016届高考数学（文）一轮复习跟踪检测：2-1+变化率与导数、导数

课时作业12 变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1．(2014·山东青岛一模)曲线y＝x－2x在(1，－1)处的切线方程为( ) A．x－y－2＝0 C．x＋y－2＝0

33

B．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0

2

解析：由已知，点(1，－1)在曲线y＝x－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x－2)|x

＝1

＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A. 答案：A

x2．(2015·郑州质量预测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐

2

2

标为( )

A．3 C．1

解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0， 33

由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.

xx0答案：A

3．(2015·福州质检)已知函数y＝anx(an≠0，n∈N)的图象在x＝1处的切线斜率为2an

－1

2

*

B．2 1

D. 2

＋1(n≥2，n∈N)，且当n＝1时，其图象经过点(2,8)，则a7＝( ) 1A. 2C．6

2

*

*

B．5 D．7

解析：因为函数y＝anx(an≠0，n∈N)的图象在x＝1处的切线斜率为y′|x＝1＝2an，所1

以可得到2an＝2an－1＋1，所以an－an－1＝. 2

又因为当n＝1时，其图象经过点(2,8)， 即8＝a1×2，所以a1＝2. 所以a7＝a1＋6d＝5.故选B. 答案：B

4．(2015·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x－3x＋2x和y＝x＋a都相切，则a的值是( )

A．1 1

C．1或

64

B.1 64

3

2

2

2

1

D．1或－

64

解析：易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x－3x＋2x上， (1)当O(0,0)是切点时，易得a＝1.

(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x0－3x0＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x0－6x0＋2.①

y02

又k＝＝x0－3x0＋2，②

x0

3

由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍)，

21

所以k＝－，

4

1

∴所求切线l的方程为y＝－x. 41??y＝－x，4由???y＝x2＋a，

2

3

2

32

12

得x＋x＋a＝0.

4

1

依题意，Δ＝－4a＝0，

161∴a＝. 64

1

综上，a＝1或a＝.

64答案：C

5．(2015·长安质检)设a∈R，函数f(x)＝e＋a·e的导函数是f′(x)，且f′(x)3

是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )

2

A．ln2 C.ln2 2

B．－ln2 D.－ln2

2

x

－x

ax

解析：由题意可得，f′(x)＝e－x是奇函数，

e∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1. 11xx

∴f(x)＝e＋x，f′(x)＝e－x. ee3

∵曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，

23x1x

∴＝e－x，解方程可得e＝2， 2e∴x＝ln2，故选A.

答案：A

6．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )

2

?3?A.?－，3? ?2?

C．(2,3)

2

2

B．(0，－4) 1??D.?1，－? 4??

解析：由题意知，A(x1，x1)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x，则在A，B两点处的切线斜率k1

＝2x1，k2＝2x2.

1

又两切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－. 4

两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x1，l2：y＝2x2x－x2，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.

x1＋x2

∵x1≠x2，∴x＝，代入l1，

21

解得y＝x1x2＝－，故选D.

4答案：D 二、填空题

7．(2014·广东卷)曲线y＝－5e＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________． 解析：由y＝－5e＋3得，y′＝－5e，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.

答案：5x＋y＋2＝0

8．(2014·江西卷)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__________．

1

解析：由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，

x则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．

答案：(e，e)

b2

9．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax＋(a，b为常数)过点P(2，

x－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是__________．

b2

解析：由曲线y＝ax＋过点P(2，－5)，

xb

得4a＋＝－5.①

2

x

x

x

2

2

b

又y′＝2ax－2，

x

b7

所以当x＝2时，4a－＝－，②

42

??a＝－1，

由①②得?

?b＝－2，?

所以a＋b＝－3.

答案：－3 三、解答题

10．(2015·揭阳一模改编)对于每一个正整数n，设曲线y＝x

n＋1

在点(1,1)处的切线与

x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．

解析：利用导数求得曲线y＝x

n＋1

在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，

即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn,0)， n

则有(n＋1)xn－n＝0?xn＝，

n＋1n

∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg(n＋1)，

n＋1

∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.

11．(2015·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x＋ax与g(x)＝bx＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.

解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)， 所以f(t)＝0，即t＋at＝0. 因为t≠0，所以a＝－t.

g(t)＝0，即bt＋c＝0，所以c＝ab.

又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线， 所以f′(t)＝g′(t)．

而f′(x)＝3x＋a，g′(x)＝2bx， 所以3t＋a＝2bt.

将a＝－t代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t. 故a＝－t，b＝t，c＝－t.

1

12．(2014·潮州二模)f(x)＝ax－，g(x)＝lnx，x＞0，a∈R是常数．

x(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.

(2)是否存在常数a，使l也是曲线y＝f(x)的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．

2

3

2

3

2

22

2

3

3

2

1

解析：(1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x

x－1.

(2)设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有 1

ax－＝x－1，??x?1??a＋x＝1，

0

0

020

x0＝2，??解得?3

a＝，??4

此时f(2)＝1，

3

即当a＝时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2,1)的切线．

4