刚体的基本运动(2)

空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件，但讨论起来比较麻烦，一般不作教学要求。 §3.5 转动惯量

一、转动动能

1n1n12n222T??mi(??ri)?(??ri)??mi?risin?i???mi?i22i?12i?12i?1

令

I??mi?i2i?1n 则转动动能为

T?12I?2

二、转动惯量

转动惯量计算公式为：

I??mi?i2i?1n

对刚体可用积分形式 式中?i是质点

Iz??mr2dm

mi(dm)到z轴距离，dm是微元体的质量。

转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物体的转动惯量，一方面决定于物体的形状，另一方面又决定于转动轴的位置。

2I?I?mdc平行轴定理 z

z轴与zc轴平行，两者之间的距离为d，C为刚体的质心。

三、惯量张量

刚体对坐标轴的轴转动惯量

Ixx??(y2?z2)dm,Iyy??(z2?x2)dm,Izz??(x2?y2)dm

惯量积的定义为

Ixy?Iyx??xydm,Iyz?Izy??yzdm,Izx?Izx??zxdm若刚体绕任一转动轴转动，其相对于坐标轴的方向余弦为α、β、γ ，则刚体绕此转动轴的转动惯量为

I?Ixx?2?Iyy?2?Izz?2?2Ixy???2Iyz???2Izx??

3个轴转动惯量和6个惯量积作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度，

可以排成一个矩阵形式，我们把它叫惯量张量

?Ixx?Ixy?Ixz?Iyy?Iyz??Iyx?Izz??Izx?Izy?????

?Ixx?Ixy?Ixz?Iyy?Iyz??Iyx?Izz??Izx?Izy??????????????????

刚体的转动惯量可表示为 I =（α β γ）四、惯量主轴

选择适当的坐标轴，可以使惯量积等于零。这样使惯量积等于零的坐标轴就叫惯量主轴。对均质刚体，其对称轴就是惯量主轴。对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量，用I1，I2，I3表示。这时，刚体的转动惯量、动量矩和转动动能将简化为

I?I1?2?I2?2?I3?2J?I1?xi?I2?yj?I3?zk12T?(I1?x2?I2?y?I3?z2)2

§3.6 刚体的平动与定轴转动

1． 刚体的平动

刚体在运动过程中，若其上任一直线的方位相对于所选参考系始终保持不变，则称此刚体相对于该参考系作平动。根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线，又将平动分为直线平动和曲线平动。

当刚体作平动时，刚体内各点的轨迹具有相同的形状；在每一瞬时，各点具有相同的速度和加速度。

对平动刚体的研究可以归结为质点的运动的研究。 2． 刚体的定轴转动

刚体运动时，如果相对于某一参考系而言，刚体内（或其延拓部分）有一条直线保持不动，则称此刚体相对于该空间作定轴转动。

（1） 刚体的运动方程、角速度和角加速度

定轴转动刚体时，具有一个自由度，可以用广义坐标，即转角?来确定任一瞬刚体时在空间的位置。运动变化规律可由运动方程描述，即

???(t)

上述方程描述了转角的变化规律，也称为刚体的转动方程。

?随时间的变化情况可进一步用其对时间的一阶、二阶导数刻画。这些量反映了刚体转

动快慢和转动方向，它们是角速度?和角加速度?.

??d?dt

d?d2????2dtdt

物理量角速度和角加速经常用矢量表示 ???k ???k

其中k是沿转轴正向的单位矢量。?与?有下述关系

????????

??d?dt

?（2） 转动刚体上任意一点的运动

刚体作定轴转动时，除了转轴以外，刚体上各点的轨迹均是位于垂直于转轴平面内

的圆，圆心在转轴上，半径等于点到转轴的距离，称为转动半径。其运动方程为

s?R?R是转动半径，?是定轴转动刚体的转角。 该点的速度为 ??R?

沿轨迹的切向，指向与?的转向一致。

切向加速度和法向加速度分别为

2a?R?a?R??n ，

?全加速度a的大小为 a?R??2??4

a与转动半径的夹角?为

tg??

??2

（3） 转动刚体上任一点速度和加速度的矢量表示法

刚体的角速度、角加速度矢量?、?，体上任一点的矢径为r，那么该点的速度 ????r 加速度为

a???r????

?????????????????aa其中??r为切向加速度分量?，??v为法向加速度分量n

?例 图示折杆OAB，已知OA?AB?l，?OAB?120，O与固定铰连接，?、

?大小已知，转向如图所示。试求AB中点C的速度和加速度。

解：

1°研究点C。OAB作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点C的速度和加速度。

2°速度分析 其中

222?0 OC?OA?AC?2?OA?AC?co1s2

vc?oc??

ll7

?l2?()2?2?l?sin30??l2

224

OC?7l2

3l?2

所以 方向如图所示

vC?3° 加速度分析

ac?oc??方向如图示。

??772l?l?n2?a?oc??c22

???45例 图示机构，杆AB在时以匀速u作直线平动，试求在任意位置

(0????45?)时，杆OD的角速度、角加速度。

解：

OD作定轴转动，AB作直线平动，1°研究系统。取?为杆OD的转角。由题意知杆OD的角速度? 转向如图示，并设出? 的转向。

2°运动速度分析。杆AB上点A的运动方程为 yA?ltg?