实验一 非线性方程求根(2)

三、练习与思考题分析解答 ① 比较二分法和牛顿法在非线性方程求根中的优缺点和收敛速度。 参考：二分法简单易行，但只有线性收敛速度； 牛顿法计算简单，对于单根情形具有二阶局部收敛速度，但对初值的选择比较困难，牛顿法每次迭代要计算f'(x)，增加了计算量，对于重根情形仅线性收敛。 对二分法分析; 二分法是利用中点函数值判断，这样就会不断的接近零点，通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法，从它的运算性质来说，每次运算后，区间长度减少一半，是一种线性收敛，另外，二分法不能计算复根和重根。 对于牛顿法分析： 解非线性方程f（x）=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f（x）在x0点附近展开泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程f（x）=0的近似方程，即泰勒展开的前两项，从而得到一个牛顿法的一个迭代序列。记{X（n）}。此时，当n趋于无穷大，X（n）就会逐渐逼近f（x）=0的根。 综上所述： 牛顿迭代法是一种特殊的迭代法，用于求非线性方程单根时具有二阶收敛速度，但是，牛顿法也有自己的缺点，它对初值的要求苛刻，而且还要求函数的导数，如果导数太过复杂，牛顿法并不十分简便。但是二分法虽然运算相对简便，但是从上述例题的求解我们可以看出二分法运算的次数很多，也就是说二分法收敛速度比牛顿法要慢的多。 ② 改进牛顿迭代法，使其对于重根也具有较高的收敛阶，试写出你所能想到的改进思路及其迭代格式，并简单分析收敛速度。 改进思路; ' 对于经典牛顿法根据它的几何意义我们可以对此进行修正，如上图所示，经典牛顿法是从?xk,f?xk??出发，按f?xk?方向寻找下一个迭代点，即左边图的zk?1点。而提出修正方法是按左边图上中点x?zkk?12点的导数的方向寻找下一个迭代点，也就是左图中的xk?1点，从图中看可以发现xk?1zk?1点更快的收敛到根。 迭代格式： f?xk???P:zk?1?xk?'?f?xk?? ?f?xk??C:xk?1?xk??zk?1?'??xk?f?2?????? 收敛速度简单分析： 收敛阶数的定义设序列?x?收敛于极限xk*，如存在常数P?1和C?0使limk??xk?1?xx?xk**P?C，其中P是收敛阶数，P越大，收敛速度越快。 对于迭代序列的效率指数有如下定义：设迭代序列?x?收敛阶数P?1，每次迭代的计算量为kw，则称e?lnP为迭代序列的指数。 w根据以上的定义，对于中点牛顿迭代法，计算量w=3n，其收敛阶P?3。 所以对于新的修正牛顿迭代法，它的收敛阶P?3，比经典的牛顿迭代法快。 四、本次实验的重点难点分析 本次上机中，更加熟悉了二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法，同时也了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。 在实验中，对于matlab软件不是很熟练，同时对于代码的编写也感觉到很吃力，通过反复的看计算原理以及不断的上机调试，最终得到了结果。