二次样条与三次样条的研究(3)

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

??16.052x3?35.9426x2?19.89x?2:0?x?1?326.878x?32.849x?48.9019x?20.9306;1?x?2???5.9593x3?44.174x2?105.1495x?0.4187;2?x?3?32?5.4593x?58.593x?203.1579x?226.5359;3?x?4??0.3780x3?11.4545x2?77.0335x?147.0526;4?x?5?32??6.9474x?109.9952x?569.7368x?968.2249;5?x?6?8.1675x3?162.0718x2?1062.7x?2296.6;6?x?7???4.2225x3?98.1172x2?758.6579x?1953.2;7?x?8?S(x)??2.2225x3?56.5622x2?478.7775x?1346.7;8?x?9??2.1675x3?61.9665x2?587,9809x?1853.6;9?x?10??0.9474x3?31.4785x2?285.3206x?955.4689;10?x?11??????? ???

3 对三次样条函数空间的研究

4 设[a,b]由一个分割?：a?x1?x2?...?xi?1?b。用S?=(k,m)为关于?，[a,b]上3次样条函数}称为3样条函数空间。

4 显然，S?是一个线性空间，且3次样条函数

S(x)?Si(x)?ai?bi(x?xi)?ci(x?xi)2?di(x?xi)3x?[xi,xi?1],(i?1,2,...,i)由i段

“装配“，每段由4个参数唯一确定，所以共有4i个自由参数。

/// 又由要求3次样条函数S(x)，及S(x),S(x)在xi(i?2,...,i)连续，即有3(i?1)个

44约束条件。所以，3次样条函数空间S?最多有4i?3(i?1)?i?3个自由参数，也就是说S?维数最多有i?3。

4定理1 设函数集合?1?{1,x,x,x,(x?x2)?,...,(x?xi)?}则?1为S?空间中的一组基

2333a?x?b。

4证明 显然?1中任一函数?S?，且?1中共有i?3个函数，其中x2,...,xi为内点，剩下只

要证明?1中i?3个函数于线性无关即可。 事实上，如果存在ai，bi使

?ax??b(x?x)jjjj?0j?23i3j??0,x?[a,b]（1）

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1） 对于x?[a,x2]时，则（1）式为

i?axjj?03j?0,x?[a,x2]于是，aj?0，(j?0,1,2,3)

这时，（1）式为

?b(x?x)jj?23j??0,x?[a,b]

?0 （2）对于x?[x2,x3]时，则（1）式为b2(x?x2)3??0,x?[x2,x3]由此，b2(3) 同理，可得bi?0,(j?2,...,i)。

44i?3维线性空间。于是，对任一S(x)?S?定理2 三次样条函数空间S?，则有

3iS(x)=?ajx??aj?2(x?xj)3?

jj?0j?24 二次B样条函数与三次B样条函数

设有节点序列{ti}：{ti}:t1?t2?...?tn?k，可由分割?节点扩展得到：

t1?t2?...?tk?x1?x2?...?xi?xi?1?tn?1?...?tn?k且tk?1?x2，tk?2?x3，...，

k维数。 tn?tk?i?1?xi 其中n?k?i?1为k-1次样条函数空间S?定义（B样条函数）

设有节点序列{ti}n?k，称函数Bi,k(x)?(ti?k?ti)[ti,ti?1,...,ti?k](t?x)?为关于节点序列{ti}的第i个k-1次B样条函数。 下面介绍B样条函数性质。

性质1 B样条正性与局部支持性。即Bi,k(x)?证明 首先证明Bi,k(x)=0，当x?[ti,ti?k]。

k?1?(t?x),t?x?1由于Bi,k(x)=?(ti?k?ti)[ti,ti?1,...,ti?k]f(t)其中f(t)?(t?x)k ????0,t?xk?1??0,x?[ti,ti?k]

?0,x?(t,t)ii?k?当x?[ti,ti?k]时，则f(t)在[ti,ti?k]上是一个k-1次多项式，故k阶差商

[ti,ti?1,...t?,i性

质

kf](t)=0，所以Bi,k(x)=0，当x?[ti,ti?k]。

B

样

条

函

数

的

递

推

公

式

2

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??1,ti?x?ti?1Bi,1(x)???0,??（1） ??B(x)?x?tiB(x)?ti?k?xBi,ki,k?1i?1,k?1(x)(k?2,3,...)?t?tt?ti?k?1ii?ki?1??1证明 由于Bi,k(x)=(ti?k?ti)[ti,ti?1,...,ti?k](t?x)k 其中?f(t)?

k?2?1?g(t)h(t) (t?x)k?=(t?x)(t?x)?由易

?1?得

*

[ti?1(t?x)k?=

t)(ti?,xi[ti,ti?1,...,ti?k]?2(t?x)k?,+tik?2（2） [ti,ti?1](t?x)*[ti?1,...,ti?k](t?x)?又由差商定义有

[ti?1,...,ti?k](t?x)k?2?k?2k?2[ti?1,...,ti?k](t?x)??[ti,...,ti?k?1](t?x)?（3） ?ti?k?ti将（3）式代入（2）式得到

?1[ti?1,...,ti?k](t?x)k?==

ti?x?2k?2k?2[[ti?1,...,ti?k](t?x)k?[ti,...,ti?k?1](t?x)?]?[ti?1,...,ti?k](t?x)??ti?k?titi?k?xx?tik?2k?2[ti?1,...,ti?k](t?x)??[ti,...,ti?k?1](t?x)?]

ti?k?titi?k?ti即

k?1=Bi,k(x)=(ti?k?ti)[ti,...,ti?k](t?x)?ti?k?xk?2+(ti?k?ti?1)[ti?k,...,ti?k](t?x)?ti?k?tix?tik?2或 (ti?k?1?ti)[ti,...,ti?k?1](t?x)?ti?k?1?tiBi,k(x)=

ti?k?xx?tiBi?1,k?1(x)?Bi,k?1(x)(k?2,3,...)

ti?k?ti?1ti?k?1?ti由B样条递推公式可知Bi,3(x)（2次B样条）是分段2次多项式且具有连续的一阶导数。同理可得Bi,4(x)（3次B样条）是分段3次多项式函数且具有连续的一阶导数和二阶导数。

k现在证明S?（k-1次B样条函数空间）的维数n=k+i-1

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证明 设C1B1,k(x)?C2B2,k(x)?...?CnBn,k(x)?0,?x?[t1,tn?k] 对于x?[t1,t2]，则上式为C1B1,k(x)?0，故C1?0。 对于x?[t2,t3]，则上式为C2B2,k(x)?0，故C2?0 同理可得C3?C4?...?Cn?0

于是{B1,k(x),B2,k(x),...,Bn,k(x)}于[t1,tn?k]上线性无关。

同理可证{B1,k(x),B2,k(x),...,Bn,k(x)}于[tk,tn?1]也线性无关。于是

k一个基。 {B1,k(x),B2,k(x),...,Bn,k(x)}为S?

5 应用举例

三次样条插值函数在机器人轨迹规划应用中的给进研究

1） 前言

机器人轨迹规划就是根据机器人手部预定的任务设计机器人各关节位置、速度和加速度对时间的运动规律，它是机器人学中一个重要而且十分复杂的问题。

三次样条插值在机器人轨迹规划应用刚刚起步，它能保证机器人在工作过程中角度、角速度和脚连续加速度，下将给出具体应用过程。 2）三次样条插值函数的构造

设S(t)??(t)t?[t0,tn]，并利用S(t)在ti处的二阶导数值S//(ti)?Mi

由于S(t)在小区间t?[ti,ti?1]上是次数不高于三次的多项式，其二阶导数S//(ti)是一次多项式或是常数，利用S//(ti)?Mi和S//(ti?1)?Mi?1进行线性插值，得到：

S//(ti)?(ti?1?t)(t?ti)Mi?Mi?1 （1）其中hi?ti?1。 6hi6hi// 对于（1）的S(t)表达式连续进行积分两次，并利用插值条件S//(ti)??(ti)及

S//(ti?1)??(ti?1)可确定积分过程中的两个积分常数，整理后用Mi表示的在区间[ti,ti?1]的

S(t)的公式为：

(ti?1?t)(t?ti)Mihi2ti?1?tMi?1hi2t?ti（2） S(ti)?Mi?Mi?1?(?(ti)?)?(?(ti?1)?)6hi6hi6hihi6hihi

从式（2）可以看出，只要求出公式中的Mi的值，S(t)便可以完全确定，这样就将三

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次样条插值函数S(t)的问题转化为求n+1个未知数Mi的问题。

对式（2）的S(t)进行求导得：

(ti?1?t)2(t?ti)2?(t)??(ti)Mi?1?Mi（3） S(ti)?Mi?Mi?1?i?1?2hi2hihi6/由角速度S/(t)在节点上的连续性条件：S/(ti?0)?S/(ti?0)得到：

hi?1h?(t)??(ti?1)hh?(t)??(ti) Mi?1?iMi?i??iMi?iMi?1?i?166hi?136hi整理得：?iMi?1?2Mi??iMi?1?di（4）

?(ti)??(ti?1)?(ti?1)??(ti)hi?1hi令?i?di?6?i?hi?1?hihi?1?hiti?1?ti?t?ti?1hi?1?hi?6?[ti?1,ti,ti?1]

上式方程组中含有n+1个未知数M0、M1...Mn而上式方程组有n-1个等式，要求出M0 …… 此处隐藏：2995字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……