多元线性回归模型(2)

(6)联合假设检验是相对于单个假设检验来说的，指假设检验中的假设有多个，不止一个。如多元回归中的方程的显著性检验就是一个联合假设检验，而每个参数的，t检验就是单个假设检验。

(7)在实际经济活动中，常常需要根据经济理论对模型中变量的参数施加一定的约束条件，对模型参数施加约束条件后进行回归，称为受约束回归。

(8)无约束回归是与受约束回归相对的一个概念，无需对模型中变量的参数施加约束条件进行的回归称为无约束回归。

习题答案

1. 多元线性回归模型的基本假定仍然是针对随机干扰项与针对解释变量两大类的假设。针对随机干扰项的假设有：零均值，同方差，无序列相关且服从正态分布。针对解释变量的假设有：解释变量应具有非随机性，如果是随机的，则不能与随机干扰项相关：各解释变量之间不存在(完全)线性相关关系。

在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量非随机或与随机干扰项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机干扰项同方差且无序列相关的假定。

2. 在多元线性回归分析中，t检验常被用作检验回归方程中各个参数的显著性，而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起来对被解释变量有显著的线性关系，并不意味着每一个解释变量分别对被解释变量有显著的线性关系。在一元线性回归分析中，二者具有等价作用，因为二者都是对共同的假设——解释变量的参数等于零——进行检验。

3. 对模型参数施加约束条件后，就限制了参数的取值范围，寻找到的参数估计值也是在此条件下使残差平方和达到最小，它不可能比未施加约束条件时找到的参数估计值使得残差平方达到的最小值还要小。但当约束条件为真时，受约束回归与无约束回归的结果就相同了。

X1?X2?X3?X4?1684. 由于，当其中一个变量变化时，至少有一个其他变量也得变化，

因此，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是无意义的。

显然，由于四类活动的总和为一周的总小时数168，表明四个X间存在完全的线性关系，因此违背了解释变量间不存在(完全)多重共线性的假设。

X4 可以去掉其中的一个变量，如去掉代表“其他”活动的变量型更加合理。如这时

?1，则新构成的三变量模

就测度了当其他两变量不变时，每周增加1小时的学习时间所带的

学习成绩的平均变化。这时，即使睡觉和娱乐的时间保持不变，也可以通过减少其他活动的时间来增加学习的时间。而这时三个变量间也不存在明显的共线性问题。

5. (1)样本容量为 n?d.f.?1?15

RSS=TSS-ESS=66042-65965=77 ESS的自由度为 d.f.?14?2?12 RSS的自由度为 d.f.?n?3?12

2(2)

R?ESSTSS?6596566042?0.9988

1412?2R?1?(1?R)2n?1n?k?1?1?0.0012??0.9986

(3)应该采用联合假设检验，即F检验，理由是只有这样做才能判断X2，X3，一起是否对

Y有影响。

(4)不能。因为仅通过上述信息，可初步判断

X2，

X3联合起来对Y有线性影响，两者的变

X3化解释了Y变化的99.8%。但由于无法知道回归法判断它们各自对Y的影响有多大。

X1X2，前参数的具体估计值，因此还无

6. (1)预期对劳动者受教育的年数有影响。因为在收入及支出预算约束一定的条件下，

子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

X1 根据多元回归模型偏回归系数的含义，

1前的参数估计值-0.094表明，在 其他条件

不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年， 因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加0.094 (2)

X2?10.6?11个。

的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受

教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的受教育机会。 (3)首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.131x12+0.210x12=14.452 10.36+0.131x16+0.210x16=15.816 因此，两人的受教育年限的差别为

15.816—14.452=1.364

7. (1) logX1的系数表明在其他条件不变时，logX1变化1个单位，Y变化的单位数，??X1??Y?0.32?logX1?0.32???0.32?100%X?1?即，换言之，当企业销售X1增长100%时，

企业研发支出占销售额的比重Y会增加32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加3.2个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。

(2)针对备择假设H1:?1?0，检验原假设开H0:?1?0。易知计算的t统计量的值为

t?0.320.22?1.468。在5%的显著性水平下， 自由度为32—3=29的t分布的临界值为

1.699(单侧)，计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D强度随销售额的增加而增加。

0.05 (3)对

X2，参数估计值的t统计值为0.46?1.087，它比在10%的显著性水平下的临界

值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

8. (1)直接给出了p-值，所以没有必要计算t统计值以及查t分布表。根据题意，如果p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。

由于表中所有参数的p-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的，多元回归中去掉变量时一定要谨慎，要有所选择。本例中，

X6X2X3X4X的 p-值仅比0.1稍大一点，在略掉5，

，，

，

X7的模型C中，这些变量的系数都是显著的。

H0:?i?0?i?1,?,6,7?H0(2)针对联合假设，其对应的备择假设

Hi:?i?i?1,?,6,7?中至

少有一个不为零。检验假设，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A，约

束模型为模型D，检验统计值为

F??RSSR?RSSU?/?kU?kR?RSSU/?n?kU?1?=0.462

显然，在H0假设下，上述统计量满足F分布，在10%的显著性水平下，自由度为(4，32)的F分布的临界值位于2.09和2.14之间。显然，计算的F值小于临界值，我们不能拒绝

H0，所以

?i?i?1,?,6,7?是联合不显著的。

2(3)模型D中的3个解释变量全部通过显著性检验。尽管R值相对较小，残差平方和相对较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。

(4)随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预期?3?0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期?4?0，事实上其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期?3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。 9. (1)由数理统计学知识易知

??????????Var??1?2?2??Var??1??4Cov??1,?2?????

?????4Var??2?????

(2)由数理统计学知识易知

t??1?2?2?1se??1?2?2?

其中

se??1?2?2?为

?1?2?2的标准差。

(3)由

?1?2?2??知

?1?2?2??，代入原模型得

Y??0?(2?2??)X1??2X2??3X3?u

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