2、2008-2014天津工业大学 求实杯数学竞赛（经管）试题及答案(3)

四. （本题满分7分）计算极限lim

n→∞

∑[

i=1

n

111

??]。+++222

(n+i+1)(n+i+2)(n+i+i)

1

2

五. （本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]连续，在(0,1)上可导，且f()=1，任意实数λ，证明：1.存在ξ∈(0,1)，满足f(ξ)=ξ；2.存在η∈(0,1)，f(0)=f(1)=0，

满足f′(η)=λ(f(η)?η)+1。 六. （本题满分7分）计算

∫∫max(xy,1)dxdy,其中D={(x,y)0≤x≤3,0≤y≤2}。

D

a

a

七. （本题满分7分）1.若f(x),g(x)在[?a,a]连续(a>0),且g(x)为偶函数,

f(x)+f(?x)=c,(c为常数)：证明：

∫

?a

f(x)g(x)dx=c∫g(x)dx；2计算：

0

∫πx(sinx)

?

π2012

arccote?xdx 。

八. （本题满分8分）求不定积分

∫

xearctanx(1+x2)

3

2

dx。

九. （本题满分9分）设z=z(x,y)是由方程F(z+

11

,z?)=0确定的隐函数，且具有xy

连续的二阶偏导数，

?F(u,v)?F(u,v)?z2?z+y2=，计算并化简：1. x2.

?x?y， ?v?u

2

?2z?2z3?zx+xy(x+y)+y。

?x?y?x2?y23

十. （本题满分9分）某产品的收益函数为R(p),收益弹性(收益价格弹性)为1+p,其中

3

p为价格,且R(1)=1, 1.计算R(p); 2.计算p=2时的边际收益。

十一. （本题满分9分）过原点作曲线C:y=lnx的切线L;Ω1为L.C及x轴围成的区域, Ω2为L.C及y轴围成的区域，1.计算Ω1，Ω2的面积; 2.计算Ω1绕x=e旋转一周所得的旋转体的体积。

2013《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷

一.填空题(满分15分，每小题3分) 1. 设y=f(x)由方程y?x=e

x(1?y)

所确定，则limn[f()?1]= ； n→∞

2

n

48

?1?cosax

?sin2bx,x>0?

2. 已知f(x)=?a,x=0在x=0连续，则a= ，b= ；

?1

?(1+4x)x,x<0?

3. 积分

x2

(xarcsin+x21?x2)dx＝ ； ∫?1

5

1

4．xedx= ；

∫

3

x2

x2y2z2

++，则函数u(x,y,z)在P0(1,2,3)点沿函数在该点的梯度5．函数u(x,y,z)=1+

61218

方向的方向导数为 。 二.选择题(满分15分，每小题3分)

?xy?x2+y2,

1.设f(x,y)=?

?0,?

x2+y2≠0x2+y2=0

，则f(x,y)在点(0,0) ；

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；

（C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。 2.已知当x→0时，f(x)=3sinx?sin3x与cxk为等价无穷小，则 ； (A) k=1,c=4； (B) k=1,c=?4； (C) k=3,c=4； (D) k=3,c=?4。

x

3.设F(x)=(2t?x)f(t)dt,f(x)可导, 且f′(x)>0，则 ；

0

∫

（A）F(0)是极大值； （B）F(0)是极小值； （C）F(0)不是极值, 但(0,F(0))是曲线y=F(x)的拐点坐标； （D）F(0)不是极值, (0,F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点坐标。

4.设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0,0) ； （A）不是f(x,y)的连续点 （C）是f(x,y)的极大值点

； （B）不是f(x,y)的极值点； ； （D）是f(x,y)的极小值点 。

5.曲线y=xarctanx+

2x

的渐近线有 ； 2

(x?1)

49

(A) 1条; (B) 2条; (C) 3条; (D) 4条; 三.（本题满分7分）计算积分

∫

+∞

1

xlnx

dx。 22

(x+2)

四.（本题满分7分）设函数z=f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续偏导数，g具有一阶

?z?2z

连续导数，g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，求，。

?x(1,1)?x?y(1,1)

131?=++xtt??33

所确定， 五.（本题满分7分）设函数y=y(x)由参数方程?

11?y=t3?t+?33?

1.求函数y=y(x)的极值；2.求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。

六.（本题满分7分）求圆周(x+1)+y=1上的点与定点(0,1)距离的最大值和最小值。 七.（本题满分7分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴所围成平面图形为D。（1）求D的面积A; （2）分别求D绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积Vx,Vy。

2

2

?xtf(t)dt

∫0?,x≠0?x

八.（本题满分7分）设函数f(x)>0，且有连续的导数，令?(x)=?f(t)dt

∫?0?,x=0?a

3.证明：当x≥0时，?(x)单调增1.确定常数a，使?(x)在x=0点连续；2.计算?′(x); 加。

九.（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,

1

（1）存在η∈(0,1)，使得f(η)?η=0。 f()=1试证：

2

（2）存在ξ∈(0,η),使, f′(ξ)?2[f(ξ)?ξ]=1。

十.（本题满分7分）计算I=

∫

0

?2dx∫4?x2?x

(x+y)dy+∫dx∫0

22

2

4?x22x?x2(x2+y2)dy。

十一. （本题满分7分）设函数 f(x)在闭区间[?1,1]上具有连续的三阶导数，且

f(?1)=0,f(1)=1,f′(0)=0，证明：至少存在一点ξ∈(?1,1)，使得f′′′(ξ)=3。

50

十二.（本题满分7分）设f(x)在[?1,1]上连续且为奇函数，区域D由曲线

y=4?x2,y=?3x与y=3x所围成，求I=∫∫(x2+f(x)ln(y+1+y2)dxdy。

D

2014《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷

一．填空题（满分15分，每小题3分） 1.若f(x)连续，且lim

23

?x?f(x)

=10，lim?1+?x→0x→01?cosx?f(x)?

3

cos3x

sinx

= ；

2. f(x)=(x?2x)(x?2)cos

1

2

πx

2

在(?2,3)上的不可导点 ；

3.积分

?x6?1?x2+sinx(cosx)3?dx=； ∫?1??

?1x??arctanx??ex+e?

的渐近线为 ； 4. y=???1?x???xx??ee??

5.函数f(x)=

∫π(xsint?t)dt的最小值点x= ；

?

π2

二．选择题（满分15分，每小题3分）

1.设f(x)=(6+x)(31?sinx?1)，则f(x)在x=0处满足 ；

A.f′(0)=0，B.f′(0)=1，C.f′(0)不存在，D.f′(0)=?2；

?xy?sin(x2y2)

,x2+y2≠0?22

,则z=z(x,y)在点(0,0)满足 ； 2.设z=?x+y

?0,x2+y2=0?

A.连续且偏导数存在， B.连续但不可微，

C.不连续但偏导数存在， D.不连续且偏导数不存在； 3.下列积分I<0的是 ； A.∫e

?1 1

?x2

sinxdx，B.∫sinx(1+sgnx)dx，C.∫

?1ax+by

1

131?3 1 1?x1?x3

xln()dx，D.∫1cosxln()dx；

?1+x1+x3

4.已知函数z=u(x,y)e

?2u?2u?z?z

，且=0，若??+z=0，则a,b满足 ；

?x?y?x?y?x?y

A.a=1,b=1，B.a=2,b=2，C.a=?1,b=1，D.a=?1,b=?1；

5.设f(x)可导，且f′(0)=1,f(0)=0，平面区域D=(x,y)x+y≤t

{222

}，则

51

222

F(t)=∫∫?x+f(x+y)???dxdy是 …… 此处隐藏：2501字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……