2、2008-2014天津工业大学 求实杯数学竞赛（经管）试题及答案

2008《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷

一．填空题（满分15分，每小题3分）

x

6x??2???++9cos11xxxx???+?1+??=_________； 1.lim?x6?

22x→?∞????x??x+xsinx????

()2．曲线sin(xy)+ln(y?x)=2x在点A(0,1)处的切线方程为________________；

+∞

3．反常（广义）积分

∫

0

?2008128x2?

??1+ex+(1+x2)2??dx＝________________； ??

f(x)

4.函数f(x)在 x=2 的某个邻域内可导，且f′(x)=e

y

x

，f(2)=1，则f′′′(2)= ；

5.若f(u,v)可微，z=sin(x+y)f(x,y)，则函数z在点(1,2)处全微分dz(1,2)= ； 二．选择题（满分15分，每小题3分）

{xn}为数列，下列命题正确的是____； 1．设函数f(x,y)在(?∞,+∞)内单调有界，

(A)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛，(B)若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛 (C)若{xn}单调,则{f(xn)}收敛， (D)若{f(xn)}单调,则{xn}收敛

2．某商品的需求函数为Q=360?6P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于3，则商品的价格是________________； （A）30 （B）45 （C）35 （D）40

3．若函数f(x)在(?∞,+∞)内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则 （A）在(?∞,+∞)内恒有f(x)≤f(x0)，（B）x0是f(x)的驻点

（C）?x0是函数?f(x)的极小值点，（D）?x0是函数?f(－x)的极小值点 4．设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?′y(x,y)≠0；若(x0,y0)为f(x,y)在约束条件?(x,y)=0下的一个极值点，下列选项中正确的是________________；

(A)若fx′(x0,y0)=0，则fy′(x0,y0)≠0 (B)若fx′(x0,y0)≠0，则fy′(x0,y0)≠0 (C)若fx′(x0,y0)=0，则fy′(x0,y0)=0 (D)若fx′(x0,y0)≠0，则fy′(x0,y0)=0

1

5．曲线y=e

x2

x2?x+1

的渐近线有________________； arctan

(x+1)(x?2)

38

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

?g(x)?e?x

, x≠0?

,其中g(x)有二阶连续导数,且三．（本题满分7分）设f(x)=?x

?0, x=0?

g(0)=1,g′(0)=?1；(1)计算f′(x) ，(2) 讨论函数f′(x)在(?∞,+∞)上的连续性。

四．（本题满分7分）设函数z=f(xy,e)+yg(x+cosy),其中f具有连续的二阶偏导数,

x

?z?2z?2z

,,2。 g具有连续的二阶导数，求

?x?x?y?x

五．（本题满分7分）已知曲线L:y=?bx+a,(a>0,b>0),求出a,b使得1. L与

2

y=1+x相切；2. L与x轴围成的图形，绕y轴一周所得的旋转体的体积最大。

六．（本题满分7分）设函数f(x,y)=x?y?(x,y)，其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：f(x,y)在点(0,0)处可微的充要条件为?(0,0)=0。

π七．（本题满分7分）设积分

∫

0

sinxcosxcosx2dx。 ，计算dx=a∫20x+1(x+2)

π八．（本题满分7分）设函数f(x)，g(x)，在x∈(?∞,+∞)上f′′(x)≥0，在[0,a](a>0)

1a?1 a?上，g(x)连续，证明：∫f[g(t)]dt≥f?∫g(t)dt]?。

a0?a 0?

九．（本题满分7分）计算极限lim[(ne?1)(nn!)]。

n→∞

十．（本题满分7分）设函数f′′(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，f′′(x)>0，

x∈[0,1]

minf(x)=?1，证明：maxf′′(x)≥8。

x∈[0,1]

十一．（本题满分7分）设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且证明：(1)至少存在u∈(0,1),使f(u)+u=1；(2)存在互异ξ,η∈(0,1),f(1)=1,f(0)=0，使得f′(ξ)f′(η)=1

十二．（本题满分7分）求抛物线弧段

[]x+y=a(a>0)上一点(ξ,η)，使此点的切线

与抛物线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并计算此最小面积。

39

2009《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷

一．填空题（满分15分，每小题3分）

1?2?

?atanx+b(1?cosx)ex

+81．已知极限lim??x2x→0x?ln(1?2x)+c(1?e)

?

??

?=2，则a=__________； ??

2．函数y=y(x)由方程y?

∫

siny

ln(x+y)

e?tdt=0所确定，则dy(1,0)=_________；

2

3．积分

?(1+x)cosx3x2?+xe?dx=_________； ?∫ ?π2?1+sin2x

?

2

π4．设f(x)在x=0点可导，且lim5．已知

cosx?1

=1，则f′(0)=_______；

x→0ef(x)?1

∫

+∞

?∞

e

kx

dx=3,则k=________。

二．选择题（满分15分，每小题3分） 1．设lim

x→0y→0

f(x,y)+3x?4y

=2，则2fx′(0,0)+fy′(0,0)=_______； 22

x+y

（A）0 （B）3 （C）－2 （D）－3

2．某商品的需求函数为Q=360?8p，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于2，则商品的价格是________________； （A）20 （B）15 （C）10 （D）40 3．函数y=f(x)具有二阶连续导数， f′(0)=0，又lim

x→0

f′′(x)

=?2，则_____； x

（A）f(0)是曲线f(x)的极大值 （B）(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点； （C）f(0)是曲线f(x)的极小值； （D）以上答案均不正确.

4．二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充要条件是________________；

(A)

[f(x,y)?f(0,0]=0， (B)(x,ylim

(x,y)→(0,0))→(0,0)

lim

x→0

f(x,y)?f(0,0)

x+y

2

2

=0

(C)lim

f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)

=0,且lim=0,

y→0xy

y→0

(D)lim[fx′(x,0)?fx′(0,0]=0,limfy′(0,y)?fy′(0,0=0

x→0

[] 40

?1?

?ex+e?tanx????5．函数f(x)=在[?π,π]上的第一类间断点是x=______； 1

?x?

?x?ee?????

(A)1 (B)0 (C)? (D)

22

ππ?x21tf(tx)dt

?∫0

,x≠0?

， 三．（本题满分7分）f(x)>0,f′(x)连续，令?(x)=?xf(t)dt

∫?0??0, x=0

（2）讨论?′(x)的连续性。 （1）求?′(x)；

?x2x,x>0

四．（本题满分7分）设函数f(x)=?，求f(x)的极值。

?x+1,x≤0

五．（本题满分7分）设f(x)=

∫

x

0

e?y

2

+2y

dy，求积分∫(x?1)2f(x)dx。

0

1

2

??x=t?1

，其中t≥0，（1）讨论曲线L的凹六．（本题满分7分）已知曲线L的方程为?2

??y=4t?t

凸性；（2）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（3）求此切线与

L（对应x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形A的面积。

七．（本题满分7分）设函数z=f(xy,y?2x)+g(x?siny),其中f(u,v)具有连续的二

?2z

。 阶偏导数, g具有连续的二阶导数，求dz,

?x?y

八．（本题满分7分）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=a，

[]∫[f(x)?x]dx=0，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使 …… 此处隐藏：2903字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……