江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式(2)

9m＋111＝＝9m＋.因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋

2

mmm11

≥6，当且仅当m＝，即x＋t＝时等号成立．故所求最小值为6.

33答案 6

例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x

的不等式f(mx)－2f(x)＞f(mx)－2f(m)(0＜m＜2)的解集为________． 解析 由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx)＋f(2m)＞f(mx)＋

2

2

2

2

f(2x)，

得f(mx＋2m)＞f(mx＋2x)，即mx＋2m＞mx＋2x，也即(x?2

2

2

2

2)(x－m)>0. m2

又0＜m＜2，所以x＜m，或x＞. m答案 ?xx?m或x???2?? m?aba＋b,a例16．若实数a，b，c满足2＋2＝2解析 ∵2

a＋babab2＋2＋2＝2

bca＋b＋c，则c的最大值为________．

＝2＋2≥22·2＝22)－4×2

bca＋ba＋b(当且仅当a＝b时取等号)，

a＋b∴(2

a＋b2

≥0，∴2

a＋b≥4或2

c≤0(舍)． ·2，

c 又∵2＋2＋2＝2 ∴2＝a＋b(22－1

caa＋b＋c，∴2

a＋b＋2＝2

a＋b2

a＋ba＋b≥4)．

又∵函数f(x)＝

1

＝1＋(x≥4)单调递减， x－1x－1

x444c ∴2≤＝，∴c≤log2＝2－log23.

4－133答案 2－log23

二、解答题

例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物

6

每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝

kk， 3x＋5

40

再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用C1(x)＝6x.

3x＋540800

故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋5 (2)由f(x)＝2(400400

?3x?5?5)≥2(2400－5)＝70，当且仅当＝3x＋5，

3x＋53x?5 即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70.

当隔热层修建为5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

例18．设函数f(x)＝x＋2ax＋bx＋a，g(x)＝x－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.

(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；

(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1

解 (1)f′(x)＝3x＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.

由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，

???8＋8a＋2b＋a＝0，?a＝－2，?由此得 解得??12＋8a＋b＝1，?b＝5.??

2

3

2

2

所以切线l的方程为x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x－4x＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x－3x＋2x.

依题意，方程x(x－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程

7

2

3

2

3

2

x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.

又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)0，x1x2＝2－m>0.故00， 所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0. 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，

所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.

于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

?1?综上所述，m的取值范围是?－，0?. ?4?

例19．已知函数f(x)＝sin x＋cos x和g(x)＝2sin x·cos x.

π

(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，]的最小值h(a)；

2π1

(2)若对任意x∈[0，]，使|af(x)－g(x)－3|≥恒成立，求实数a的取值范围．

22解 (1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sin x＋cos x＋2asin xcos x.

设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t－1，所以φ(t)＝t＋a(t－1)＝at＋t－a， π

由x∈[0，]，得t∈[1，2]．

2

1?211? 若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝a?t＋?－a－，因为t＝－

4a2a?2a?＜0，

所以φ(t)在[1，2]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1；

11＋211＋2

若a＜0，则当－≤，即a≤1－2时，h(a)＝φ(2)＝a＋2；当－＞，

2a22a2 即1－2＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1.

2

2

2

1

4

?1， a＞1－2，

综上所述，h(a)＝?

?a＋2，a≤1－2，

11

(2)由|af(x)－g(x)－3|≥，得|a(sin x＋cos x)－2sin xcos x－3|≥.

22

8

?π?2

设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t－1，且由x∈?0，?，得t∈[1，2]．

2??

111222

所以|at－t－2|≥恒成立，即t－at＋2≤－或t－at＋2≥恒成立．

222

1552

由t－at＋2≤－，得a≥t＋，因为t∈[1，2]，且t＋在[1，2]上递减，

22t2t577132

所以t＋≤，所以a≥.由t－at＋2≥，得a≤t＋.因为t∈[1，2]，

2t2222t3

所以t＋≥22tt·＝6，当且仅当t＝，即t＝时等号成立，所以a≤6. 2t2t2

336

7

综上所述a≤6或a≥. 2

例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan 1.20，

请据此算出H的值．

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的 距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若 电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α—β最大？ 解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，

tan αtan βtan β得

＋＝，

tan αtanβtan β

β

＝

HhHHhHhtan α4×1.24

解得H＝＝＝124.

tan α－tan β1.24－1.20

因此，算出的电视塔的高度H是124 m. (2)由题设知d＝AB，得tan α＝. HdH－h由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，所以tan(α

tan βtan βd－β) ＝

Hh

tan α－tan β 1＋tan αtan β

9

＝

hh≤.

HH－h2HH－hd＋dHH－h，即d＝HH－h d当且仅当d＝＝125×125－4＝555时，上式取等号，所以当d＝555时tan(α－β)最大． ππ

因为0＜β＜α＜，则0＜α－β＜，所以当d＝555时，α－β最大．

2故所求的d是555 m. 2

10