江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式

专题3 不等式

一、填空题

例1 已知集合A＝{0，1}，B＝{a，2a}，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2，

2

x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________．

解析 A×B＝{a2a，a＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a＋1，解得0＜a＜2. 答案 (0,2)

例2 ．设a?log32,b?ln2,c?5?2则a,b,c三者的大小关系 解析 a=log32=

1212,22

11, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a

1,而5?2?log24?log23,所以c

例3 ．对于问题：“已知关于x的不等式ax＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)， 解关于x的不等式ax－bx＋c＞0”．给出如下一种解法：

解 由ax＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，

即关于x的不等式ax－bx＋c＞0的解集为(－2,1)． 参考上述解法，若关于x的不等式则关于x的不等式1??1?x＋b?＜0的解集为?－1，－?∪?，1?，3??2?x＋ax＋c?

＋2

2

2

2

2

kkxbx＋1

＋＜0的解集为________． ax＋1cx＋1

1＋bx1??1?kxbx＋1k1?

解析 不等式＋＜0可化为＋＜0，所以有∈?－1，－?∪?，1?，

3??2?ax＋1cx＋111x?

＋a＋cxx 即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式(1,2)．

答案 (－3，－1)∪(1,2)

kxbx＋1

＋＜0的解集为(－3，－1)∪ax＋1cx＋1

1

?x?1?例4 ．设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1关于直线

?y?x?3x?4y?9?0对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于

解析 由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域?1中的点到直线3x?4y?9?0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3x?4y?9?0的距离最小，故|AB|的最小值为

2?|3?1?4?1?9|?4。

5答案 4

例5 ．若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①ab?1； ②a?b?33 ④a?b?3； ⑤

2； ③ a2?b2?2；

11??2 ab解析 令a?b?1，排除②④；由2?a?b?2ab?ab?1，命题①正确；

2

11a?b2??2，命题⑤a2?b2?(a?b)2?2ab?4?2ab?2，命题③正确；??ababab正确。

答案 ①，③，⑤ 例6 ．对任意x>0，解析 ∵

x≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x＋3x＋1

2

xxx1??，

≤a恒成立，∴a≥?2＝≤?max而2

x＋3x＋1x＋3x＋11?x＋3x＋1?

x＋＋32x2

11x·＋3

x111＝(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥. 5x51答案 a≥ 5

例7 ．若实数x，y满足x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． x＋y解析 由x＋y＋xy＝1，得(x＋y)－xy＝1，即xy＝(x＋y)－1≤

4

2

2

2

2

2

2

2

3

，所以(x＋

4

y)2≤1，

232323故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.

333答案

23 3

例8 ．已知?1?x?y?4且2?x?y?3，则z?2x?3y的取值范围是_______（答案用区间表示） 解析 画出不等式组???1?x?y?4表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直

?2?x?y?3线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 答案 （3，8）

例9 ．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4＋2的最小值为________． 解析 易知f(x)恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx－y＋n＝0上，则2m＋n＝1.又4＋2＝2

mn2m mn3

＋2≥22答案 22

n2m＋n11

＝22，当且仅当m＝，n＝时等号成立．

42

例10 ．已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中 点M(x0，y0)满足y0＞x0＋2，则的取值范围是________．

??x0＋2y0＋1＝0，y0

解析 设＝k，则y0＝kx0.由题意，得?

x0??y0＞x0＋2，

y0

x0

1??x0＝－，1＋2k所以???k－1x0＞2，

1－k5k＋111y0

从而有＞2，即＜0，解得－＜k＜－.所以∈

1＋2k2k＋125x0

?－1，－1?.

?25???

1??1

答案 ?－，－?

5??2

?x?04例11 ．若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两

?3?3x?y?4?部分，则k的值是 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?∴S?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4△ABC

y B 4y=kx+ 3D C A 144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 233O 1512交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

22235147∴?k??,k?。 22337答案 33nn－1

例12 ．若不等式(－1)(2a－1)＜()对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

2=

________．

4

x

解析 当n为奇数时，原不等式即为(2a－1)＜()，又对一切正整数n恒成立，所以2a 32n3n3n35

－1＜?a＜，当n为偶数时，原不等式即为－(2a－1)＜()，即2a－1＞－()24223n5

又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－()，从而a＞－，所以a的取值范围是

82?－5，5?.

?84????55?答案 ?－，?

?84?

1＋cos x＋8sin 2

例13 ．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝的最小值为________．

sin x1＋cos x＋8sin 2cos ＋8sin cos 4sin

22222

f(x)＝＝＝＋

sin xxxxx2sin cos sin cos

2222cos 4sin

22· xxsin cos

22

cos 4sin 22x1xπ

＝4，当且仅当＝，即tan ＝时取“＝”，因为0＜＜，所以存在xxx2222sin cos 22

2

2

xx2

x2

xxx解析

xx≥2

xxx1

使tan ＝，这时f(x)min＝4.

22

答案 4

x2＋s＋tx＋st＋1

例14 ．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值x＋t为________．

x2＋s＋tx＋st＋1

解析 设x＋t＝m，则

x＋tx2＋8x＋10tx＋8x＋9tt＋19x＋t2＋1＝＝

x＋tx＋t

5