中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题

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中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．

下给出证明

法一：首先了解两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则

AB DB

AC DC

=

． F

E

D

C

B

A

证明：ABD ACD

S BD S

CD =

，ABD ACD

S AB DE AB S

AC DF AC ?=

=?，即AB DB

AC DC

=

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则

AB DB

AC DC

=

． A

B

C

D

E

证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB

AC DC

=

．

接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PA

k

MB PB

==，故M点为定

点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PA

k

NB PB

==，故N点为定点，即∠APB

外角平分线交直线AB于定点；

又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P

（x，y），PA=kPB

，即：

()()

()()()()

22

2222

222222

2

222

2

12210

22

1

x m y k x m k y

k x y m k m x k m

m k m

x y x m

k

++=-+

-+-++-=

+

+-+=

-

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．

那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、

2

E两点，点P是圆C上一个动点，则1

2

PA PB

的最小值为__________．

E

A

B

C

D

P

【分析】这个问题最大的难点在于转化1

2

PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提

供两种思路．

法一：构造相似三角形

注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接

PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1

2 PA．

问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】

（1）这里为什么是1

2 PA？

答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是1

2

PA，也只能构造

1

2

PA．

（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？

答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为2

3

．

2

2

【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．

法二：阿氏圆模型

对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！

已知PA 、圆确定PB

已知PA 、PB 之比确定圆

而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！

P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点

与D 点重合，此时DM=12

DA =1，即可确定M 点位置．

如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足

PM:PA=1:2．

【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．

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【练习1】如图，在ABC ?中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．

A B C

D

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ??+ ???，故求23AD BD +最小值即可． 考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23

AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在

23

DM DA =．

问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM

长度的3倍即为本题答案．

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【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12

PD PC 的最大值为_______．

A B C

D

P

【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12

PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12

PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．

连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．

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