2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统

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目录

2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

（一） ..................................................................................................................................... 2 2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

（二） ................................................................................................................................... 11 2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

（三） ................................................................................................................................... 21 2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

（四） ................................................................................................................................... 30 2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题

（五） (40)

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2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟

五套题（一）

说明：仿真模拟试题是根据本校该考试科目历年考研真题题型及出题难度，结合常考侧重点，精心整理编写，均含有详细答案解析，是考研必备参考资料。

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一、证明题

1． 设是来自某连续总体的一个样本.该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，

证明:统计量

服从

【答案】分几步进行: （1）若且为连续严增函数，则

这是因为的反函数也存在.于是

的分布函数为

其中当

当

所以

（2）若则

这是由于y 仅在

上取值，

故

仅在

上取值，所以当时，

当

时，有

这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的分布函数，即

（3）由

的相互独立性可导致

相互独立，

由（1）与（2）可知

2． 从正态总

.中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管

先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布.，

其中由于n=100，

所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

3． 设

为一独立同分布的随机变量序列，已知

试证明:当n 充分大时

，

近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.

【答案】因为

为独立同分布的随机变量序列，所以

也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为

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4． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

:

（1） （2） （3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球.从中每次取出一球，不放回.试求迟早取到白球的概率.因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m 即得（1）.而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球.从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回.试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球.从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去.试求迟早取到白球的概率.

5． 设X 为非负连续随机变量，若存在，试证明:

（2）

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 0

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

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6． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p （X ，y ）可分离变量，即

又问

与边际密度函数有什么关系？

【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为，必要性是显然的，因为X 与Y 相互

独立，则

，即p （X ，y ）可分离变量，其中

. 下证充分性:因为

，所以记

由联合密度函数的正则性，得

又因为

9 ?

由此可得

所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （x ）与相差一个常数因子，

也相差一个常数因子

，这两个常数因子的乘积为1.

7． 设随机变量X

有密度函数且密度函数是偶函数，假定

证明:X 与Y=不相关、但不独立. 【答案】因为

所以这表明:X 与

不相关.

为证明

与

不相互独立，特给定

使得

现考查如下特定事件的概率

所以X 与

不独立.

8． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明:Y 服从参数为的泊松分布.

二、计算题

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