(完整word)高等代数在几何中的应用

高等代数的相关理论在几何上的应用

班级：经数1401 学号：20140236 姓名：石凯

内容摘要：本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

1.导言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许

多高等院校教学改革的一个热门课题．

在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．

总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．

2.高等代数在解析几何中的应用

2.1 判别平面、直线位置关系[9]

直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断．

2.1.1 平面位置关系判别

两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．

定理1 设两个平面方程为

111112222200A x B y C z D A x B y C z D ∏+++=∏+++=：： 则

1 平面1∏与2∏平行 11112222

==()2,()1A B C D r A r A A B C D ?≠?==； 2 平面1∏与2∏重合 11112222

==()1,()1A B C D r A r A A B C D ?=?==； 3 平面1∏与2∏相交 111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ?≠?==．

其中,111222A B C A A B C ??= ???,11112222A B C D A A B C D -??= ?-??

． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组

11112222

00A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=? (1) 的解．由1()2r A ≤≤，而()()2r A r A ≤≤．所以有：

1 平面1∏与2∏平行?方程组(1)无解，亦即1∏与2∏无公共点?()()r A r A ≠， ()r A =2，()1r A =．由()1r A =，可设111222

==A B C k A B C =．那么0k ≠且对A 作初等行变换得

1

111121000A B C D A D D k -?? ?= ?- ??

? 又由()2r A =，有

1210D D k -≠，从而11112222==A B C D A B C D ≠． 2 当且仅当12D k D =，即11112222

==A B C D A B C D =时,()()1r A r A ==，这时方程组(1)有无

穷多解并且只有一个独立的方程．平面1∏与2∏重合，即结论2成立． 3 若111222::::A B C A B C ≠，那么A 的行向量线性无关，从而()()2r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且有两个独立的方程．平面1∏与2∏相交于一条直线． 例 1 求过点(4,1,3)及平面1:20x y z π+--=与平面2:3530x y z π+--=交线的平面π的方程．

解 由所求平面经过点(4,1,3)，可设平面方程为(4)(1)(3)0A x B y C z -+-+-=．

又因平面π与平面1π，2π相交于一条直线，则由定理1可知，线性方程组

203530(4)(1)(3)0x y z x y z A x B y C z +--=??+--=??-+-+-=?

有无穷多解，即()()2r A r A ==． 其中，1111112351,351343A A A B C A B C A B C --???? ? ?=-=- ? ? ? ?++????

． 而11121112351302234315002322A A B C A B C C B A C A B ?? ?--?? ? ?=-→- ? ? ? ?++??-+++ ???

． 所以有20153022

C B A C A B -+=???++=??，得111A B C ==-，则所求平面方程为 (4)(1)(3)0x y z -+---=20x y z ?+--=．

2.1.2 直线位置关系判别

两直线通常有4种位置关系，即相交，重合，平行与异面．以下同样是应用矩阵的秩来判别．

定理 2 判别两直线1111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?3

33324444

0:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?的位置关系的充要条件为：

1 相交()()3r A r A ?==；

2 重合()()2r A r A ?==；

3 平行()3()2r A r A ?==，；

4 异面()4()3r A r A ?==，． 其中11111112

22222233333334444444,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D -???? ? ?- ? ?== ? ?- ? ?-????

． 证明 1L 与2L 的相关位置取决于线性方程组

1111222233334444000

A x

B y

C z

D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=??+++=??+++=? 的解的情况． 记A 的行向量为1234,,,αααα，A 的行向量记为1234,,,αααα，A ，A 分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．注意到()()r A r A =或()()1r A r A =+，而2()3r A ≤≤．

当()2r A =时，有以下几种情况： ①()2r A =，此时方程组有无穷解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 重合； ②()3r A =，此时线性方程组无解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 平行． 当()3r A =时，有以下几种情况： ①()3r A =,此时线性方程组有唯一解，表明1L 与2L 相交；

②()4r A =,此时线性方程组无解且1L 与2L 的方向向量不共线，表明1L 与2L 异面．

例2 判别下面直线的位置关系．

2503510x y z x y z ++-=??++-=?与8323052750

x y z x y z +-+=??++-=? 解 由1125112502514351161007883232863527500061A ?? ???-- ? ? ? ?=→-- ? ?-- ? ? ???- ???知，()3,()4r A r A ==，根据 定理2知，两直线异面．

2.1.3 线面位置关系判别

空间直线与平面有3种位置关系： …… 此处隐藏：8319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……