2019届北师大版(文科数学) 定积分与微积分基本定理(普通高

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（十六） 定积分与微积分基本定理

(一)普通高中适用

A 级——基础小题练熟练快

1．定积分??0

1(3x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋1

B ．e

C ．e －12

D ．e ＋12 解析 选D ??0

1 (3x ＋e x )d x ＝????32x 2＋e x ???10＝32＋e －1＝e ＋12. 2．若f (x )＝?????

x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1＜x ≤2，则??-12f (x )d x ＝( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 选D ??-12f (x )d x ＝??-11(x 3＋sin )d x ＋??1

23d x ＝0＋3x ???21＝6－3＝3. 3. -?2

2π

π

(1＋cos )d x ＝( )

A ．π

B ．2

C ．π－2

D ．π＋2 解析 选D 因为(x ＋sin )′＝1＋cos ， 所以-?22ππ (1＋cos )d x ＝(x ＋sin ) ???π2-π

2

＝π2＋sin π2－????－π2

＋sin ????－π2＝π＋2. 4．若??0

1(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( ) A ．－13

B ．－23

C ．－1

D ．－2

解析 选B 由题意知??01 (x 2＋mx )d x ＝????x 33＋mx 22???10＝13＋m 2＝0，解得m ＝－23.

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5．若f (x )＝?????

lg x ，x ＞0，

x ＋??0

a 3t 2dt ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( ) A ．1

B ．2

C ．－1

D ．－2 解析 选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝??0a 3t 2d t ＝t 3???a

0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.

6．已知f (x )为偶函数且??06f (x )d x ＝8，则??-6

6f (x )d x 等于( ) A ．0

B ．4

C ．8

D ．16

解析 选D 因为原函数f (x )为偶函数，即在y 轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等， 即??-66f (x )d x ＝2??0

6f (x )d x ＝8×2＝16. 7．若函数f (x )＝x ＋1x ，则??1

e f (x )d x ＝________. 解析 ??1e f (x )d x ＝??1e ????x ＋1x d x ＝????12x 2＋ln x ???e

1＝12e 2＋12. 答案 12e 2＋12

8．若??1

a ????2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是________． 解析 ??1a ????2x ＋1x d x ＝??1a 2x d x ＋??1

a 1x d x ＝x 2???a 1＋ln ???a 1

＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 所以?????

a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，解得a ＝2. 答案 2

9．汽车以v ＝3t ＋2(单位 m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .

解析 s ＝??12 (3t ＋2)d t ＝????32t 2＋2t ???2

1 ＝32×4＋4－????32＋2＝10－72＝132(m )．

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答案 132

10．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0

解析 设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝??0t (t 2－x 2)d x ＋??t

1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12

为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ????12＝14. 答案 14

B 级——中档题目练通抓牢

1．由直线x ＝－π3，x ＝π3

，y ＝0与曲线y ＝cos 所围成的封闭图形的面积为( ) A .12

B ．1

C .32 D. 3

解析 选D 由题意知封闭图形的面积S ＝-?3

3π

π

cos d x ＝sin ＝32－???

?－32＝3.

2．已知(x ln )′＝ln ＋1，则??1

e ln d x ＝( ) A ．1

B ．e

C ．e －1

D ．e ＋1

解析 选A 由(x ln )′＝ln ＋1，联想到(x ln －x )′＝(ln ＋1)－1＝ln ，于是??1

e ln d x ＝(x ln －x ) ???e 1

＝(eln e －e)－(1×ln 1－1)＝1. 3．(2018·湘中名校联考)设f (x )＝??? 1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，

则??-12f (x )d x 的值为( )

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A .π2＋43

B.π2＋3

C.π4＋43

D.π4＋3 解析 选A ??-12f (x )d x ＝??-11

1－x 2d x ＋??12(x 2－1)d x ＝12×π×12＋????13x 3－x ???21＝π2＋43，故选A .

4．若f (x )＝x ＋2??0

1f (t )d t ，则f (x )＝________. 解析 记a ＝??0

1f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ， 故??01f (x )d x ＝??01 (x ＋2a )d x ＝????12x 2＋2ax ???1

0＝12＋2a ， 所以a ＝12＋2a ，a ＝－12

，故f (x )＝x －1. 答案 x －1

5．由直线y ＝x ＋3和曲线y ＝x 2－6x ＋13围成的封闭图形的面积为________． 解析 由直线y ＝x ＋3和曲线y ＝x 2－6x ＋13围成的图形如图中阴影部分所示．

由????? y ＝x ＋3，

y ＝x 2－6x ＋13，

得x 1＝2，x 2＝5， 所以所求面积为S ＝??25[(x ＋3)－(x 2－6x ＋13)]d x ＝??2

5 (－x 2＋7x －10)d x ＝????－13x 3＋72x 2－10x ???51＝92.

答案 92

6．计算下列定积分

(1) ??0

1 (－x 2＋2x )d x ； (2) ??12????e 2x ＋1x d x ；

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(3) ?2

0π

1－sin 2x d x .

解 (1) ??01 (－x 2＋2x )d x ＝??01 (－x 2)d x ＋??0

12x d x ＝－13x 3| 10＋x 2| 10＝－13＋1＝23

. (2) ??12????e 2x ＋1x d x ＝??12e 2x d x ＋??1

21x d x ＝12e 2x | 21＋ln | 21＝12e 4－12

e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12

e 2＋ln 2. (3) ?

20π1－sin 2x d x ＝?20π|sin －cos |d x ＝?4

0π (cos －sin )d x ＋?24

π

π (sin －cos )d x

＝(sin ＋cos ) ????π40＋(－cos －sin ) ???π2

π

4 ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.

7．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0

1f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；

(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)，

则f ′(x )＝2ax ＋b.

由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，

得????? a －b ＋c ＝2，b ＝0，即????? c ＝2－a ，

b ＝0，

所以f (x )＝ax 2＋2－a .

又??01f (x )d x ＝??01 (ax 2＋2－a )d x