7.3 直线、平面垂直的判定与性质-2020-2021学年新高考数学一轮

1 §7.3 直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线a 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(2)范围：???

?0，π2. 3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

概念方法微思考

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一思考辨析

2

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)

(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)

(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)

题组二教材改编

2．(多选)下列命题中正确的有()

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案ABC

解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．

答案(1)外(2)垂

解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

3

4

(2)如图2，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于点H ，D ，G .

∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ?平面P AB ，

∴PC ⊥平面P AB ，又AB ?平面P AB ，∴PC ⊥AB ，

∵AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ，PO ，PC ?平面PGC ，

∴AB ⊥平面PGC ，又CG ?平面PGC ，

∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高．

同理可证BD ，AH 分别为△ABC 边AC ，BC 上的高，

即O 为△ABC 的垂心．

题组三 易错自纠 4．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 由l ⊥α且m ∥α能推出m ⊥l ，充分性成立；

若l ⊥α且m ⊥l ，则m ∥α或者m ?α，必要性不成立，

因此“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分不必要条件，故选A.

5.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O ，M ，N 分别是线段BD ，DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM 与AC ，MN 的位置关系是( )

A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直

答案A

解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

因为OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC.

设正方体的棱长为2，

则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，

ON＝1＋4＝5，

所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.

6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()

A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBC

C．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC

答案AB

5

解析易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.

直线与平面垂直的判定与性质

例1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．

(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.

又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，

所以BE⊥平面EB1C1.

(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，

故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.

如图，作EF⊥BB1，垂足为F，

6

7 则EF ⊥平面BB 1C 1C ，

且EF ＝AB ＝3.

所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13

×3×6×3＝18. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．

跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：(1)EF ∥平面ABC ；

(2)AD ⊥AC .

证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，

则AB ∥EF .

又因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，

所以EF ∥平面ABC .

(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，

平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ?平面BCD ，BC ⊥BD ，

所以BC ⊥平面ABD .

因为AD ?平面ABD ，所以BC ⊥AD .

又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，

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