人教全国备战中考数学二次函数的综合备战中考模拟和真题分类汇总

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .

（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；

（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，

①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；

②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2

||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.

【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最

，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或

332t ≤<或72t =. 【解析】

【分析】

（1）先利用对称轴公式x=2a 12a

--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；

（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；

（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．

【详解】

解：（1）∵2a x 12a

-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.

∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，

∴抛物线过点()1,4.

得a 2a 34-+=，

解得a 1=-.

∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.

C 点坐标为()0,3，顶点

D 的坐标为()1,4.

（2）①∵PC PD CD -≤，

∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.

连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===

∴PC PD -

.

易得直线CD 的方程为y x 3=+.

把()P t,0代入，得t 3=-.

∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.

②2

y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

x x x x ?-++≥=?--+

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

22x 23,0,y x 23,0.

x x x x ?-++≥=?--+

x x x x ?-++≥=?--+

y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.

令288t 0-=，解得7t 2

=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2

=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （1-132，13-12

）；（3）Q 点坐标为（0，-

72）或（0，32

）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】

【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.

（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，

∴y ＝2x ﹣6，

令y ＝0，解得：x ＝3，

∴B 的坐标是（3，0）．

∵A 为顶点，

∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4， 把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，

解得a ＝1，

∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．

（2）存在．

∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，

∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，

此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ． 设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1-13（m ＝1+13＞0，舍）， ∴P （1-13，13-1）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴1DQ AD OD DB =，即5=135

，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝

72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴2OQ OB OD OB =，即2363

OQ =， ∴OQ 2＝

32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，

则△BOQ 3∽△Q 3EA ，

∴33OQ OB Q E AE =，即33341

OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，

即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．

综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32

）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

3．函数()2110,>02

y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02

y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .

（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；

（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；

（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当

0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =

；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的 …… 此处隐藏：12416字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……