高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题

第一章函数、极限与连续内容概要

第3章中值定理与导数的应用

内容概要

函数，极限与连续&中值定理

习题1~8

★ ★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：

（2）()2

3

0cos 1tan sin lim x x x x -→； （3）()20tan sin 31ln lim x

x x x +→； （4）x

x x x x arctan 1sin 1lim 0-+→； 知识点：等价无穷小代换求极限；

思路：要活用等价无穷小公式，如当0→x ，有03→x ，故3sin x ～3

x ，以及有关定理。 （2）()()

221lim cos 1tan sin lim 223023

0=?=-→→x x x x x x x x （3）当0→x 时，0sin 3→x

x ，故()x x sin 31ln +～x x sin 3， ()3sin 3lim tan sin 31ln lim 2020==+→→x

x x x x x x x ； （4）2

1sin 21lim arctan 1sin 1lim 00=?=-+→→x x x x x x x x x x ； 习题3~2

★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（7） x x-x

x x sin tan lim 0-→；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：00型与∞

∞型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、∞1型与0

∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 （7） 2230000tan sec 12tan sec 2lim lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x x

x →→→→--====--； 习题1~6

★ ★ 1．计算下列极限：

（12） ()x x x x -++∞→21lim ；

（14）??

? ??---→311311lim x x x ； 知识点：极限求法

思路：参照本节例题给出的几种极限的求法

（12） ()x x x x -++∞→21lim ()()=++++-+=+∞→x x x x x x x x 222111lim 2

11lim 2=+++∞→x x x x ； （14）??? ??---→311311lim x x x 321131lim x x x x --++=→()()()()

2112lim 111x x x x x x →-+=-=--++； 习题1-7

★ ★ 2．计算下列极限：

（7）()x x x xe 101lim +→ ；

知识点：重要极限： ()1

0lim 1e →+= （或1lim 1e →∞??+= ???

） 思路： 将函数表达式化成()10lim 1e →+=（或1lim 1e →∞??+= ???

），并利用指数函数运算性质 （()n

m mn n m n m e e e e e =?=+,）得出结果 （7） ()()e e xe xe x x e xe x x x x x ==+=+?→→110101lim 1lim

习题3-2 ★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（14）

x x x sin 0lim +→；

（19）x x x x 12)1(lim +++∞→；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

0型与

∞

∞

型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0

0型、∞1型与0

∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

（14）

0000ln 1

tan sin lim sin ln lim

lim

lim

sin 0csc cot csc 0

lim 1x x x x x

x x

x x

x

x

x x x

x

x x e

e

e

e

e +

+

+

+

→→→→+

--→======；

（19）

1)

1(lim 2

2

2

211lim

111lim

)1ln(lim

1

2====+++++++

+++∞

→+∞

→+∞

→+∞→x x x x x x x x x

x x x x e

e

e

x x ；

习题1-9

★ ★ 3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它

连续。

（2）;2,1,2

31

2

2==+--=x x x x x y

知识点：间断点类型及判定；

思路： 间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；

（2）1=x 时，()()()()22

1lim 1211lim 231

lim 112

21-=-+=---+=+--→→→x x x x x x x x x x x x ，左右极限相等， ∴是第一类中的可去间断点，补充定义

()21-=y 可使函数在该点处连续；

2=x 时，∞=-+==+--→→2

1

lim 231lim 22

22x x x x x x x ，∴是第二类无穷间断点； ★ ★ 6．设

()()

??

???<=<+++=x x x x x b x a x f 000,ln ,1,22，已知()x f 在0=x 处连续，试确定a 及b 的值。

知识点：左右连续；

思路：在0=x 处连续，有()()()00000f f f =-=+，并据此列式求解； 解：()x f 在0=x 处连续当且仅当()x f 在0=x 处既左连续又右连续； 由

()

()???==?==?==+=++-+→→e b a a b f x a x x b x x 11ln 10lim ln lim 2020；

第二章 导数与微分

内容概要

习题2-2 ★ 1. 计算下列函数的导数： 知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数 (11)2log ln 2y x x =+ 解:22221(log )(ln 2)log (log )0log ln 2y x x x x x x x '''''=+=++=+ ★ 6.求下列函数的导数: 知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数

(7)

2(arcsin )2x

y =;

(10)

tan 210x x y =;

解

:2arcsin 2arcsin

(arcsin )2arcsin ()2222

x

x x x x y '''=?==

tan 2tan 2210ln10(tan 2)10ln10[tan 2sec 2(2)]x x x x y x x x x x x '''=??=+?

tan 2210

ln10(tan 22sec 2)x x

x x x =+

★★ 7.设

()f x 为可导函数,求

dy dx

: 知识点：复合函数的导数

思路：利用链式法则求复合函数的导数 (3)1(arcsin )y f x

=.

解

:2

1111(arcsin )(arcsin )(arcsin )()y f f x x x

x ''''=?=-

1(arcsin )f x '=-

★★ 10.已知

1()1x

f x x

=+，求()f x '.

知识点：抽象函数的导数

思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令

1t x =,则1x t

=

1

1()111t f t t t

∴==++ 1()1f x x

∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++

习题2-3 ★★ 6.若()f x ''存在,求下列函数的二阶导数22:d y dx . 知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导

(1)3();y f x =

(2)ln[()]y f x =.

解:32()3y f x x ''=? 3232343

6()3()36()9()y xf x x f x x xf x x f x ''''''''∴=+?=+ 解:()()

f x y f x ''= …… 此处隐藏：2052字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……