2022年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷

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2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（一） (2)

2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（二） (11)

2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（三） (22)

2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（四） (33)

2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（五） (42)

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第 2 页，共 50 页 2018年首都师范大学专业综合考试之量子力学复试实战预测五套卷（一）

特别说明：

1-本资料为2018复试学员内部使用，终极模拟预测押题，实战检测复试复习效果。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 对于自旋的体系，求

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测量

得 的概率和的平均值。 【答案】设本征态本征值为则：

将代回原方程：

即：

所以，

因此有：

同理可得：

的本征态所以在态中测量的几率为：

2． 对于描述电子自旋的泡利矩阵

（1）在表象中求的归一化本征函数. （2）若为某一方向余弦，证明算符

的本征值为±1，说明其物理意义. （3）对于两个电子组成的体系，若用分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

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本征态，证明态矢量是体系总自旋平方的本征态.

【答案】（1）在表象中，

由

和由

的本征方程

很容易求得

的本征值与本征矢：

（2）

的本征方程

可得，

故

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

（3）在耦合角动量表象中，总自旋的共同本征态

其中

则题中

故

是的本征态.

3． 在自旋态

下，求

【答案】在自旋态j

下：

所以有：

4． 一粒子在一维无限深势阱

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

【答案】由一维定态薛定谔方程有

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第 4 页，共 50 页 又在边界处应该满足连续条件

故

由归一化条件有

故

对应能量为

5． 对于一维无限深势阱

（1）写出单粒子能级和波函数

（2）如果有两个无相互作用的自旋为

的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的能量值和波函数。

【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1） 基态：

空间部分波函数是对称的

：

自旋部分波函数是反对称的：

总波函数：

（2）第一激发态：

空间部分波函数：

自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数：

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基态不简并，第一激发态是四重简并的。

6． 已知二阶矩阵A 、B 满足：

在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

【答案】根据定义有：

由于

故得：

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

则有：

由③可得： 由③可得：

由式⑤、⑥可得：可取

为实数），代入②式，即得B 表象中A 的矩阵

表示：

由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0,则:

7． —体系未受微扰作用时只有三个能级：

现在受到微扰

的作用，微扰矩阵元为

和c 都是实数.用微扰公式求

能量至二级修正。

【答案】至二级修正的能量公式为