2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数

1 函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( )

A.12

B.32

C ．0

D ．－12

6．A [解析] 由已知可得，f ??

??23π6＝f ????17π6＋sin 17π6＝f ????11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ????5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ???

?－π6＝sin 5π6＝12. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；

当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；

当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )

A ．(0，1]

B ．[0，1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

2．C [解析] 由x 2－x >0，得x >1或x <0.

3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1

的定义域为( ) A.???

?0，12 B ．(2，＋∞) C. ????0，12∪(2，＋∞) D. ???

?0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，?????x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得?????x ＞0，x ＞2或x ＜12

.故选C.

2

B2 反函数

12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )

A ．y ＝g (x )

B ．y ＝g (－x )

C ．y ＝－g (x )

D ．y ＝－g (－x )

12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．

B3 函数的单调性与最值

2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；

当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；

当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

21．、[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3

，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)；

(2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；

(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．

12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝?

????－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________． 12．1 [解析] 由题意可知，f ????32＝f ????2－12＝f ????－12＝－4???

?－122＋2＝1. 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：

①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“?b ∈R ，?a ∈D ，f (a )＝b ”；

3 ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；

③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )?B ；

④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1

(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．

取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．

当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0?[－M ，M ]，故③正确．

对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1

(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1

(x ＞－2)． 易知f (x )∈????－12，12，所以存在正数M ＝12

，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．

21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .

所以g ′(x )＝e x －2a .

当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．

当a ≤12

时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；

当a ≥e 2

时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b …… 此处隐藏：20319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……